\exo {Des triangles rectangles\dots } Deux triangles $BAH$ et $HAC$ rectangles en $H$ sont disposés comme l'indique la figure ci-dessous~: \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/} $$ \displaylines { \widehat {BAH} = 45°, \qquad \qquad \widehat {HAC} = 30°, \qquad {\rm et} \qquad AH = 3\cm . \cr \superboxepsillustrate {rect_004.ps} \cr }$$ Démontrer que $BC = 3+\sqrt 3$, l'unité étant le cm. \finexo \corrige {} %% \def \epspath {% %% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/} %% $$ %% \superboxepsillustrate {rect_004.ps} %% $$ Dans le triangle $AHC$, rectangle en $H$, on a $$\eqalign { \tan 30° = {HC\over AH} \qquad {\rm d'où} \qquad HC &= AH\times \tan 30° = AH\times {\sin 30°\over \cos 30°} \cr &= 3 \times {1/2 \over \sqrt 3/2} = 3 \times {1\over 2} \times {2\over \sqrt 3} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {HC = \sqrt 3} \cr }$$ Dans le triangle $AHB$, rectangle en $H$, on a $$\eqalign { \tan 45° = {BH\over AH} \qquad {\rm d'où} \qquad BH &= AH\times \tan 45° = AH\times {\sin 45°\over \cos 45°} \cr &= 3 \times {\sqrt 2/2 \over \sqrt 2/2} = 3 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {HB = 3} \cr }$$ On a donc bien \dresultat {BC = 3 + \sqrt 3}. \fincorrige