\exo {Triangle rectangle et trigonométrie} {\bf Les 3~questions suivantes sont indépendantes.} L'unité de longueur est le mètre. Sur la figure ci-dessous, les droites $(MB)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. De plus $MN = 12$, $\widehat {ANB} = 40°$ et $\widehat {AMB} = 55°$. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/} $$ \superboxepsillustrate {trig_001.ps} $$ \itemitemalphnum Démontrer que $$ NB = {AB\over \tan 40°} \qquad \hbox {et que} \qquad MB = {AB\over \tan 55°} $$ \itemitemalph En déduire que $$ AB = 12 \times {\tan 40° \times \tan 55°\over \tan 55° - \tan 40°}. $$ \itemnum \` A l'aide de la calculatrice, donner une mesure de $AB$ à un centimètre près par défaut. \finexo \corrige \itemalphnum En utilisant $\rm tangente = opposé/adjacent$ dans les triangles rectangles $ABN$ et $ABM$, il vient $$ \tan 40° = {AB\over NB} \quad {\rm d'où} \quad \dresultat {NB = {AB\over \tan 40°}} \qquad {\rm et} \qquad \tan 55° = {AB\over MB} \quad {\rm d'où} \quad \dresultat {MB = {AB\over \tan 55°}} $$ \itemalph En remarquant que \dresultat {NB = 12 + MB}, il vient alors l'égalité $$\eqalign { {AB\over \tan 40°} = 12 + {AB\over \tan 55°} \quad &\Longleftrightarrow \quad {AB\over \tan 40°} - {AB\over \tan 55°} = 12 \cr &\Longleftrightarrow \quad AB \left( {1\over \tan 40°} - {1\over \tan 55°}\right) = 12 \cr &\Longleftrightarrow \quad AB \left( {\tan 55° - \tan 40° \over \tan 40°\times \tan 55°}\right) = 12 \cr &\Longleftrightarrow \quad \dresultat { AB = 12 \left( {\tan 40°\times \tan 55°} \over \tan 55° - \tan 40° \right) } \cr }$$ \itemnum \` A la calculatrice, on trouve alors, à $10^{-2}$ près par défaut, \dresultat {AB \approx 24, 41}. \fincorrige