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Source de align_003.tex

Fichier TeX
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\exo {Coordonnées et alignement de points}

Dans le plan muni d'un repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$, on
considère les points
$$
   A (-5; -1)
      \qquad \qquad
   B (1; 3)
      \qquad \qquad
   C (4; 5).
$$

\itemnum Placer les points $A$ $B$ et $C$ dans le repère ci-dessous
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/}
$$
   \superboxepsillustrate {align_003a.ps}
$$

\itemnum Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés~? (Justifier la
      réponse par un calcul.)

\finexo

\corrige {}

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/}
\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {align_003.ps}
$$

\itemnum Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si
les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont
colinéaires. Calculons les coordonnées de ces deux vecteurs~:
$$
   \overrightarrow {AB} = \pmatrix {1+5\cr 3+1\cr } = \pmatrix {6\cr
   4\cr }
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {AC} = \pmatrix {4+5\cr 5+1\cr } = \pmatrix {9\cr
   6\cr }
$$
On s'aperçoit alors que \dresultat {\overrightarrow {AC} = {3\over
2}\overrightarrow {AB}}, ce qui prouve que les points \tresultat {$A$,
$B$ et $C$ sont alignés}.

Une autre méthode (que vous ne connaissiez pas au moment de ce devoir,
mais que vous allez apprendre pour lundi prochain), consiste à
utiliser la propriété suivante~:
\assert Propriété .
$$
   \vec u \pmatrix {x\cr y\cr } \quad {\rm et} \quad \vec v \pmatrix
   {x'\cr y'\cr } \quad \hbox {sont colinéaires}
      \qquad \iff \qquad
   xy - x'y' = 0.
$$
\endassert

\item {} Ici, après avoir calculé les coordonnées des vecteurs
   $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$, l'utilisation de
   cette propriété
donne $6\times 6 - 9\times 4 = 0$, ce qui prouve que \tresultat {les
   vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont
   colinéaires}, ce qui permet de conclure.


\fincorrige