align_004.tex

\exo {Démontrer un alignement avec des vecteurs}
 
Soit $ABC$ un triangle. Les points $M$ et $N$ sont définis par
$$
   \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} 
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {BN}  = {1\over 3}\overrightarrow {BC}.
$$
 
\itemnum Placer les points $M$ et $N$ sur le dessin ci-dessous
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/}
%
$$
   \superboxepsillustrate {align_004a.ps}
$$
 
\itemnum Exprimer $\overrightarrow {AN}$ en fonction de $\overrightarrow
      {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$.
 
\itemnum En déduire que $A$, $M$ et $N$ sont alignés.
 
\finexo
 
\corrige {}
 
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/}
 
\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {align_004.ps}
$$
 
\itemnum On a
$$
   (1) \quad \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} 
      \qquad {\rm et} \qquad
   (2) \quad \overrightarrow {BN}  = {1\over 3}\overrightarrow {BC}.
$$
Utilisons la relation $(2)$~: il vient
$$\eqalign {
   \underbrace {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN}}  
      = {1\over 3}\overrightarrow {BC} 
      &\iff
   \overrightarrow {AN}  
      = {1\over 3}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB}  
\cr
      &\iff
   \overrightarrow {AN}  
      = {1\over 3} \left( \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC}
   \right) 
      + \overrightarrow {AB} 
\cr
      &\iff
   \overrightarrow {AN}  
      =  -{1\over 3}  \overrightarrow {AB} + {1\over 3}\overrightarrow {AC}
      + \overrightarrow {AB} 
      \iff
   \dresultat {
      \overrightarrow {AN}  
      =  {2\over 3}  \overrightarrow {AB} + {1\over 3}\overrightarrow {AC} 
   }
\cr
}$$
 
\itemnum On voit alors facilement que
$\displaystyle {
   \overrightarrow {AN} = {1\over 3} \overrightarrow {AM}  
}$, ce qui prouve que les vecteurs $\overrightarrow {AN}$ et
   $\overrightarrow {AM}$ sont colinéaires, et donc que les \tresultat
   {points $A$, $M$ et $N$ sont alignés}.
 
\fincorrige