\exo {Parallélogramme, alignements} On considère un parallélogramme $ABCD$. \itemnum Construire les points $M$ et $N$ définis par $$ \overrightarrow {AM} = 3 \overrightarrow {AD} \qquad {\rm et} \qquad \overrightarrow {BN} = {1\over 2} \overrightarrow {AB}. $$ \itemitemalphnum Exprimer $\overrightarrow {CM}$ en fonction de $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AD}$. \itemitemalph Exprimer $\overrightarrow {CN}$ en fonction de $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AD}$. \itemnum Montrer que les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés. \finexo \corrige \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/} \itemnum $$ \superboxepsillustrate {calc_018.ps} $$ \itemalphnum Il vient $$\eqalign { \overrightarrow {CM} &= \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AM} \qquad \hbox {(relation de Chasles)} \cr &= \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {AD} + 3 \overrightarrow {AD} \qquad \hbox {puisque $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$ (car $ABCD$ parallélogramme) et $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AD}$ par hyp.} \cr &= \dresultat {-\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CM}} \cr }$$ \itemalph De la même façon, on a $$\eqalign { \overrightarrow {CN} &= \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BN} \qquad \hbox {(relation de Chasles)} \cr &= \overrightarrow {DA} + {1\over 2} \overrightarrow {AB} \qquad \hbox {puisque $\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB}$ (car $ABCD$ parallélogramme) et $\overrightarrow {BN} = {1\over 2}\overrightarrow {AB}$ par hyp.} \cr &= \dresultat {{1\over 2}\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CN}} \cr }$$ \itemnum On remarque que \dresultat {\overrightarrow {CM} = -2\overrightarrow {CM}}, ce qui prouve que les vecteurs $\overrightarrow {CM}$ et $\overrightarrow {CN}$ sont colinéaires, et par suite que les points \tresultat {$C$, $M$ et $N$ sont alignés}. \fincorrige