config_004.tex

\exo {Démontrer un parallélogramme}
 
Dans le plan muni d'un repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$, on
considère les points
$$
   A \left( -{3\over 2}; 1\right)
      \qquad \qquad
   B \left( {1\over 2}; {5\over 2}\right)
      \qquad \qquad
   C \left( 3; {1\over 2}\right)
      \qquad {\rm et} \qquad
   D (1;-1).
$$
 
Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
 
\finexo
 
\corrige {}
 
Pour montrer que $ABCD$ est un parallélogramme, il suffit de montrer
que $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.
 
Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AB}$ puis
celles du vecteur $\overrightarrow {DC}$. Il vient
$$
   \overrightarrow {AB}
      = \pmatrix {1/2 + 3/2\cr 5/2 - 1\cr}
      = \pmatrix {2\cr 3/2\cr}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {DC}
      = \pmatrix {3-1\cr 1/2+1\cr}
      = \pmatrix {2\cr 3/2\cr}
$$
On s'aperçoit alors que $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$,
ce qui prouve que \tresultat {$ABDC$ est un parallélogramme}.
 
\fincorrige