\exo {Chercher un parallélogramme} Dans le plan muni d'un repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$, on considère les points $$ A \left( -{3\over 2}; 1\right) \qquad \qquad B \left( {1\over 2}; {5\over 2}\right) \qquad {\rm et} \qquad C \left( {1\over 2} ; 3\right) $$ Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme. \finexo \corrige {} Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, il faut et il suffit que l'on ait $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$. Posons $D (x_D; y_D)$ où $x_D$ et $y_D$ sont inconnues, puis calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AB}$ ainsi que celles du vecteur $\overrightarrow {DC}$. Il vient $$ \overrightarrow {AB} = \pmatrix {1/2 + 3/2\cr 5/2 - 1\cr} = \pmatrix {2\cr 3/2\cr} \qquad {\rm et} \qquad \overrightarrow {DC} = \pmatrix {1/2-x_D\cr 3-y_D\cr} $$ Pour avoir un parallélogramme, il est donc nécessaire d'avoir $$ \cases { 1/2 - x_D = 2 \cr 3 - y_D = 3/2 \cr } \qquad \hbox {autrement dit} \qquad \cases { x_D = 1/2 - 2 = -3/2 \cr y_D = 3 - 3/2 = 3/2 \cr } $$ Finalement notre point $D$ a pour coordonnées \dresultat {D \left( - {3\over 2}; {3\over 2}\right) }. \fincorrige