coord_001.tex

\exo {Repère, constructions, coordonnées}
 
Dans le plan muni d'un repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$, on
donne les points
$$
   A (2; 1),
      \qquad \qquad
   B (5;2)
      \qquad {\rm et} \qquad
   C (1; -3).
$$
 
\itemnum Placer les points $A$, $B$ et $C$.
 
\itemnum Placer les points $M$, $N$ et $P$ définis par~:
$$
   \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB}
      \qquad \qquad
   \overrightarrow {MN} = -{1\over 3}\overrightarrow {AC}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {BA} + {1\over 2}\overrightarrow {BC}.
$$
 
\itemnum Calculer les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$.
 
\finexo
 
\corrige {}
 
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/}
 
\itemnum \num
$$
   \superboxepsillustrate {coord_001.ps}
$$
 
\itemnum Notons $M (x_M; y_M)$. Il vient~:
$$
   \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB}
      \quad \iff \quad
   \pmatrix {x_M \cr y_M \cr} = \pmatrix {5-2\cr 2-1\cr }
      = \pmatrix {3\cr 1\cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad 
   \dresultat {M (3; 1)}
$$
 
\item {} De la même façon, notons $N (x_N; y_N)$. Il vient~:
$$
   \overrightarrow {MN} = -{1\over 3}\overrightarrow {AC}
         \quad \iff \quad
   \pmatrix {x_N - 3 \cr y_N - 1\cr} = -{1\over 3} \pmatrix {1-2\cr -3-1\cr }
      = -{1\over 3}\pmatrix {-1\cr -4\cr }
      = \pmatrix {1/3\cr 4/3\cr }
$$
On a donc le système
$$
   \cases {
      x_N - 3 = 1/3
   \cr
      y_N - 1 = 4/3
   \cr }
      \quad \iff \quad
   \cases {
      x_N  = 3 + 1/3
   \cr
      y_N  = 1 + 4/3
   \cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {N \left( {10\over 3}; {7\over 3}\right)}
$$
 
\item {} Pour finir, notons $P (x_P; y_P)$. Il vient~:
$$\eqalign {
   \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {BA} + {1\over 2}\overrightarrow {BC}
         \quad \iff \quad
   \pmatrix {x_P - 5 \cr y_P - 2\cr} 
      &= \pmatrix {2-5\cr 1-2\cr } + {1\over 2}\pmatrix {1-5\cr -3-2\cr }
\cr
      &= \pmatrix {-3\cr -1\cr } + {1\over 2}\pmatrix {-4\cr -5\cr }
      =  \pmatrix {-5\cr -7/2\cr } 
\cr
}$$
D'où le système
$$
   \cases {
      x_P - 5 = -5
   \cr
      y_P - 2 = -7/2
   \cr }
      \quad \iff \quad
   \cases {
      x_P = 0
   \cr
      y_P = -3/2
   \cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {P \left( 0; -{3\over 2}\right)}
$$
 
\fincorrige