coord_003.tex

\exo {Repère, constructions, coordonnées}
 
Dans le plan muni d'un repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$, on
donne les points
$$
   A (-1; 1),
      \qquad \qquad
   B (4; 1)
      \qquad {\rm et} \qquad
   C (2; -1).
$$
 
\itemnum Placer les points $A$, $B$ et $C$.
 
\itemnum Placer les points $M$, $N$ et $P$ définis par~:
$$
   \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AC}
      \qquad \qquad
   \overrightarrow {BN} = -{1\over 3}\overrightarrow {AC}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {BP} = {3\over 2}\overrightarrow {BC} - {3\over 5 }\overrightarrow {BA} .
$$
 
\itemnum Calculer les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$.
 
\finexo
 
\corrige {}
 
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/}
 
\itemnum \num
$$
   \superboxepsillustrate {coord_003.ps}
$$
 
\itemnum Notons $M (x_M; y_M)$. Il vient~:
$$
   \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AC}
      \quad \iff \quad
   \pmatrix {x_M \cr y_M \cr} = \pmatrix {2+1\cr -1-1\cr }
      = \pmatrix {3\cr -2\cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad 
   \dresultat {M (3; -2)}
$$
 
\item {} De la même façon, notons $N (x_N; y_N)$. Il vient~:
$$
   \overrightarrow {BN} = -{1\over 3}\overrightarrow {AC}
         \quad \iff \quad
   \pmatrix {x_N - 4 \cr y_N - 1\cr} = -{1\over 3} \pmatrix {3\cr -2\cr }
      = \pmatrix {-1\cr 2/3\cr }
$$
On a donc le système
$$
   \cases {
      x_N - 4 = -1
   \cr
      y_N - 1 = 2/3
   \cr }
      \quad \iff \quad
   \cases {
      x_N  = 3 
   \cr
      y_N  = 1 + 2/3
   \cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {N \left( 3; {5\over 3}\right)}
$$
 
\item {} Pour finir, notons $P (x_P; y_P)$. Il vient~:
$$\eqalign {
   \overrightarrow {BP} = {3\over 2}\overrightarrow {BC} - {3\over 5 }\overrightarrow {BA} 
         \quad \iff \quad
   \pmatrix {x_P - 4 \cr y_P - 1\cr} 
      &= {3\over 2} \pmatrix {2-4\cr -1-1\cr } - {3\over 5}\pmatrix {-1-4\cr 1-1\cr }
\cr
      &= {3\over 2} \pmatrix {-2\cr -2\cr } - {3\over 5}\pmatrix {-5\cr 0\cr }
      =  \pmatrix {0\cr -3\cr } 
\cr
}$$
D'où le système
$$
   \cases {
      x_P - 4 = 0
   \cr
      y_P - 1 = -3
   \cr }
      \quad \iff \quad
   \cases {
      x_P = 4
   \cr
      y_P = -2
   \cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {P ( 4; -2)}
$$
 
\fincorrige