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Source de paral_001.tex

Fichier TeX
Image JPEG
\exo {Démontrer avec des vecteurs}

On considère un triangle $ABC$.

\itemnum Construire les points $E$ et $F$ définis par
$$
   \overrightarrow {AE} = - {2\over 3}\overrightarrow {AB}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {AF} = - {2\over 3}\overrightarrow {AC}.
$$

\itemnum Exprimer $\overrightarrow {EF}$ en fonction de
      $\overrightarrow {BC}$.

\itemnum En déduire que les droites $(EF)$ et $BC$ sont parallèles.

\finexo

\corrige {}

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/}

\itemnum 
\epsfxsize 60mm
$$
   \superboxepsillustrate {paral_001.ps}
$$

\itemnum On a
$$\eqalign {
   \overrightarrow {EF} 
      &= \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} 
      = {2\over 3} \overrightarrow {AB} - {2\over 3} \overrightarrow {AC}
\cr
      &= {2\over 3} \overrightarrow {AB} + {2\over 3} \overrightarrow
      {CA}
\cr
      &= {2\over 3} \left( \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB}
\right)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {\overrightarrow {EF} = {2\over 3} \overrightarrow {CB}
      = -{2\over 3} \overrightarrow {BC}}
\cr
}$$

\itemnum Les vecteurs $\overrightarrow {EF}$ et $-{2\over 3}
\overrightarrow {BC}$ sont égaux. Ils ont donc en particulier la même
direction, ce qui signifie qu'ils sont porté par des droites
parallèles. On en déduit que \dresultat {(EF) \parallel (BC)}.

\fincorrige