\paragraphe {Calcul de racines carrées dans $\cset $} L'ensemble des nombres complexes possède une propriété remarquable~: toute équation polynômiale de degré $n$ y possède exactement $n$ racines (en comptant les ordres de multiplicité). En particulier, si $a$ est un nombre complexe quelconque, l'équation $$ Z^2 - a = 0 $$ possède deux solutions complexes $z_1$ et $z_2$. On aura donc $z_1^2 = z_2^2 = a$, et $z_1$ et $z_2$ seront appelées les {\sl racines carrées\/ } du nombre complexe $a$. {\bf Résolution pratique} Par exemple, cherchons les deux racines carrées de $3+4i$. On pose $z = a+bi$ l'inconnue solution de l'équation $Z^2 = 3+4i$. Il vient~: $$ (a+ib)^2 = 3+4i \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 - b^2 + 2iab = 3+4i \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { a^2 - b^2 = 3 \cr 2ab = 4 \cr } $$ D'autre part, comme $|z|^2=|3+4i|$, on a également $a^2 + b^2 = \sqrt {3^2 + 4^2} = 5$. Finalement, nous avons donc à résoudre le système $$ \cases { a^2 - b^2 = 3 \cr a^2 + b^2 = 5 \cr 2ab = 4 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { 2a^2 = 8 \cr 2b^2 = 2 \cr 2ab = 4 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { a^2 = 4 \cr b^2 = 1 \cr 2ab = 4 \cr } $$ En remarquant que $a$ et $b$ sont de même signe puisque le produit $ab$ est positif, on en déduit que les deux racines carrées de $3+4i$ sont $z_1 = 2+i$ et $z_2 = -2-i$.