\paragraphe {Fonctions de $\cset $ dans $\rset $, lignes de niveau} Une fonction de $\cset $ dans $\rset $ est une fonction $f$ dont l'ensemble de départ est $\cset $ et dont l'ensemble d'arrivée est $\rset $. Par exemple, la fonction $f$ définie sur $\cset $ par $f (z) = |z|$ est une telle fonction. On peut représenter une fonction de ce type par une surface dans un espace à trois dimensions~: deux dimensions pour l'espace de départ, et une pour l'espace d'arrivée. Dans les exemples ci-dessous, l'espace de départ est représenté par un plan horizontal (axes $Ox$ et $Oy$), alors que l'espace d'arrivée est représenté par une droite verticale (axes $Oz$). Considérons donc une fonction $f~: \cset \rightarrow \rset $, et un nombre réel $k$ fixé. On appelle {\sl ligne de niveau $k$ de la fonction $f$} l'ensemble des points $z$ de $\cset $ tels que $f (z) = k$. Géométriquement, la ligne de niveau $k$ d'une fonction $f$ correspond à l'intersection de la surface représentative de la fonction $f$ avec le plan d'ordonnée~$k$ sur $Oz$, parallèle au plan complexe $Oxy$. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/complex/} \sparagraphe {La fonction $z \mapsto \Re (z)$} La représentation graphique de cette fonction est la suivante~: \epsfxsize = 100 mm $$\displaylines { \superboxepsillustrate {cour_015d.ps} \cr \dresultat {\hbox {La fonction } z \mapsto \Re (z)} \cr }$$ et la ligne de niveau $k$ de cette fonction correspond à la droite, parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation $x=k$. \bgroup \catcode`\|=12 \input \path pstricks/pstricks.tex %% PSTricks Par exemple, voici représenté la ligne de niveau $-2$ de cette fonction~: $$\displaylines { %% xsize: 93.13 mm, 265 pt %% ysize: 49.2 mm, 140 pt \psset{unit=1pt} \pspicture(-132.5,-70)(132.5,70) \psset{xunit=20.83,yunit=20.83} \rput(0,0){\superboxepsillustrate {cour_015e.ps}} \rput[l](-1.8,2){ $\Re (z) = -2$} \endpspicture \cr \dresultat {\hbox {Ligne de niveau $-2$ de la fonction $z\mapsto \Re (z)$}} \cr }$$ \egroup \sparagraphe {La fonction $z \mapsto \Im (z)$} La représentation graphique de cette fonction est la suivante~: \epsfxsize = 100 mm $$\displaylines { \superboxepsillustrate {cour_015c.ps} \cr \dresultat {\hbox {La fonction } z \mapsto \Im (z)} \cr }$$ et, de la même façon que pour la fonction précédente, la ligne de niveau $k$ de cette fonction correspond à la droite, parallèle à l'axe des abscisses, d'équation $y=k$. \sparagraphe {Les fonctions $z \mapsto |z|$ et $z \mapsto |z - z_0|$} La représentation graphique de la fonction $z \mapsto |z|$ est la suivante~: \epsfxsize = 100 mm $$\displaylines { \superboxepsillustrate {cour_015a.ps} \cr \dresultat {\hbox {La fonction } z \mapsto |z|} \cr }$$ La surface ainsi définie est un cône de sommet $O$ et d'axe $Oz$, et la ligne de niveau {\bf positif} $k$ de la fonction $z\mapsto |z|$ correspond au cercle de centre $O$ et de rayon $k$. De façon tout à fait analogue, si $M_0$ est le point image du nombre complexe $z_0$, alors la représentation graphique dans l'espace $\rset ^3$ de la fonction $z \mapsto |z-z_0|$ est un cône de sommet $M_0$ et d'axe $Oz$, tandis que la ligne de niveau {\bf positif} $k$ de cette fonction est le cercle de centre $M_0$ et de rayon $k$. \tmpdimen 265 pt \epsfxsize .7\tmpdimen \bgroup \catcode`\|=12 \input \path pstricks/pstricks.tex %% PSTricks $$\displaylines { %% xsize: 93.13 mm, 265 pt %% ysize: 93.13 mm, 265 pt \psset{unit=.7pt} \pspicture(-35.27,-35.27)(229.72,229.72) \psset{xunit=27.77,yunit=27.77} \rput(3.5,3.5){\superboxepsillustrate {cour_015f.ps}} \rput[dl](3.5,4){$M_0$} \rput[l](2,5){$|z - z_0| = 2$} \rput[l](5.5,7){$|z - z_0| = 3$} \endpspicture \cr \dresultat {\hbox {Lignes de niveaux $2$ et $3$ de la fonction } z \mapsto |z - z_0|} \cr }$$ \egroup Si le réel $k$ est nul, la ligne de niveau $k$ est réduite au point $M_0$, et si $k$ est strictement négatif, la ligne de niveau est vide. \sparagraphe {Les fonctions $z \mapsto \arg (z)$ et $z \mapsto \arg (z - z_0)$} La représentation graphique de la fonction $z \mapsto \arg (z)$ est la surface $\cal S$ suivante~: \epsfxsize = 100 mm $$\displaylines { \superboxepsillustrate {cour_015b.ps} \cr \dresultat {\hbox {La fonction } z \mapsto \arg (z)} \cr }$$ Et si $z_0$ est un nombre complexe fixé, affixe du point $M_0$, la représentation graphique de la fonction $z \mapsto \arg (z - z_0)$ est l'image de la surface $\cal S$ par la translation de vecteur $\vec w$, où $\vec w$ est le vecteur image de $z_0$. Dans ce cas, la ligne de niveau de la fonction $z \mapsto \arg (z - z_0)$ correspondant au niveau $\theta $ (au nombre de tours près) est la demi-droite d'extrémité $M_0$ ($M_0$ non compris puisque le nombre $0$ n'a pas d'argument) et de vecteur directeur $\vec u'$ tel qu'une mesure de l'angle orienté $\widehat {(\vec u, \vec u')}$ soit $\theta $. \tmpdimen 265 pt \epsfxsize .7\tmpdimen \bgroup \catcode`\|=12 \input \path pstricks/pstricks.tex %% PSTricks Par exemple, voici les lignes de niveaux $\pi /4$ et $-\pi /3$ de la fonction $z \mapsto \arg (z-z_0)$ où $z_0$ est un nombre complexe fixé~: $$\displaylines { %% xsize: 93.13 mm, 265 pt %% ysize: 93.13 mm, 265 pt \psset{unit=.7pt} \pspicture(-35.27,-35.27)(229.72,229.72) \psset{xunit=55.55,yunit=55.55} \rput(1.75,1.75){\superboxepsillustrate {cour_015g.ps}} \rput[r](1.75,2){$M_0$} \rput[u](.5,0){$\vec u$} \rput[u](2.25,2){$\vec u$} \rput[r](2,2.6){$\vec u'$} \rput[r](1.9,1.7){$\vec u''$} \rput[l](2.3,2.4){$\pi /4$} \rput[r](0,.5){$\vec v$ } \rput[l](2.4,1.7){$-\pi /3$} \rput[r](3,3.5){$\arg (z-z_0) = \pi /4$} \rput[r](2.6,.5){$\arg (z-z_0) = -\pi /3$} \endpspicture \cr \dresultat {\hbox {Lignes de niveaux ${\pi \over 4}$ et $- {\pi \over 3}$ de la fonction } z \mapsto \arg (z - z_0)} \cr }$$ \egroup