\paragraphe {Inversion $\displaystyle (z \mapsto {1\over \overline z})$ } On appelle {\sl inversion\/} de centre $O$ et de puissance $1$ l'application qui à tout point $M$, autre que $O$, associe le point $M'$ tel que~: \item {$\bullet $} $OM \times OM' = 1$ \item {$\bullet $} $M'$ appartient à la demi-droite issue de $O$ passant par $M$. On considère $f$ l'application de $\cset $ dans $\cset $ définie par $\displaystyle z \mapsto {1\over \overline z}$, et on note $M$ l'image de $z$ et $M'$ l'image de $z' = f (z)$ dans le plan complexe. Alors l'application $M \mapsto M'$ ainsi définie est l'inversion de centre $O$ et de puissance $1$. Pour construire l'image d'un point $M$ d'affixe, on utilise le fait que si $$ z = [r, \theta ] = re^{i\theta } \qquad {\rm alors} \qquad {1\over \overline z} = \left[ {1\over r}, \theta \right] = {1\over r}e^{i\theta }. $$ Reste à savoir (et on l'admettra) que~: \item {$\bullet $} L'image par l'inversion de centre $O$ et de puissance~1 d'une droite ne passant pas par $O$ est un cercle privé d'un point. \item {$\bullet $} L'image par l'inversion de centre $O$ et de puissance~1 de la droite d'équation $x = a$ ($a\neq 0$) est le cercle de centre $\Omega (1/2a, 0)$, de rayon $1/2a$, privé du point $O$. Ainsi, dans l'exemple ci-dessous on a tracé les cercles $C_1$ et $C_2$, images respectives des droites $D$ et $x=a$ par l'inversion de centre $O$ et de puissance~$1$. \epsfxsize = 80mm $$\displaylines { \superboxepsillustrate {cour_020.ps} \cr \tresultat {Images de 2~droite par l'inversion de centre $O$ de puissance 1} \cr }$$ %% ================== \paragraphe {Inversion complexe $\displaystyle (z \mapsto {1\over z})$ } On considère $f$ l'application de $\cset $ dans $\cset $ définie par $\displaystyle z \mapsto {1\over z}$, et on note $M$ l'image de $z$ et $M'$ l'image de $z' = f (z)$ dans le plan complexe. Alors l'application $M \mapsto M'$ ainsi définie est l'inversion de centre $O$ et de puissance $-1$, parfois aussi appelé {\sl inversion complexe}. Pour construire l'image d'un point $M$ d'affixe, on utilise le fait que si $$ z = [r, \theta ] = re^{i\theta } \qquad {\rm alors} \qquad {1\over z} = \left[ {1\over r}, - \theta \right] = {1\over r}e^{-i\theta }. $$ Géométriquement, la transformation ainsi définie est la composée de l'inversion de centre $O$ et de puissance~1 avec la symétrie orthogonale d'axe $Ox$.