\exo {Linéarisation, formules d'Euler} On considère l'expression $E (x)$ définie par $$ E (x) = \cos (x) \times \sin (2x) \times \cos (3x). $$ \itemnum En utilisant les formules d'Euler, montrer que l'expression $E (x)$ peut s'écrire $$ E (x) = {1\over 8i} \left( e^{6ix} - e^{-6ix} + e^{4ix} - e^{-4ix} - \left( e^{2ix} - e^{-2ix}\right) \right) $$ \itemnum En déduire une écriture de $E (x)$ sous la forme d'une somme de fonctions trigonométriques. \finexo \corrige {} \itemnum Il vient $$\eqalign { \cos (x) \times \sin (2x) \times \cos (3x) &= {1\over 2} \left( e^{ix} + e^{-ix}\right) \times {1\over 2i} \left( e^{2ix} - e^{-2ix}\right) \times {1\over 2} \left( e^{3ix} + e^{-3ix}\right) \cr &= {1\over 8i} \left( e^{3ix} - e^{-ix} + e^{ix} - e^{-3ix}\right) \left( e^{3ix} + e^{-3ix}\right) \cr &= {1\over 8i} \left( e^{6ix} + e^0 - e^{2ix} - e^{-4ix} + e^{4ix} + e^{-2ix} -e^0 - e^{-6ix} \right) \cr &= {1\over 8i} \left( e^{6ix} - e^{-6ix} + e^{4ix} - e^{-4ix} - \left( e^{2ix} - e^{-2ix}\right) \right) }$$ \itemnum D'où $$ \cos (x) \times \sin (2x) \times \cos (3x) = {1\over 8i} \left( 2i \sin (6x) + 2i \sin (4x) - 2i\sin (2x) \right) $$ soit encore $$\dresultat { \cos (x) \times \sin (2x) \times \cos (3x) = {1\over 4} \left( \sin (6x) + \sin (4x) - \sin (2x) \right) }$$ \fincorrige