\paragraphe{Triangle de Pascal -- Formule du binôme de Newton} On a les propriétés suivantes, que l'admettra~: \assert Propriétés . \item{$\bullet$} pour tout entier $n \in \nset^*$, \quad \mresultat{C_n^0 = 1}, \quad \mresultat{C_n^n = 1}, \quad \mresultat{C_n^1 = 1}. \item{$\bullet$} pour tous entiers $n, p \in \nset^*$, avec $0 \leq p \leq n$, \quad \mresultat{C_n^{n-p} = C_n^p} \item{$\bullet$} pour tous entiers $n, p \in \nset^*$, avec $1 \leq p \leq n-1$, \quad \mresultat{C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p} \endassert Graphiquement, le calcul des $C_n^p$ successifs donne ce que l'on appelle {\sl le triangle de Pascal}~: $$ \vcenter{\offinterlineskip\halign{ % preamble \cc{#}& #\tv &&\cc{#} \cr \lower 8pt \hbox{$n$} \hskip 5pt \raise 10pt \hbox{$p$} \tvi depth 10pt && 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& \dots \cr \noalign{\hrule} 0&& 1& \cr 1&& 1& 1& \cr 2&& 1& 2& 1& \cr 3&& 1& 3& 3& 1& \cr 4&& 1& 4& 6& 4& 1& \cr 5&& 1& 5& 10& 10& 5& 1& \cr 6&& 1& 6& 15& 20& 15& 6& 1& \cr 7&& 1& 7& 21& 35& 35& 21& 7& 1& \cr $\vdots$&& 1& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & 1& \cr }} $$ Ainsi $C_5^2 = 10$ par exemple. On retrouve les $C_n^p$ dans d'autres branches des mathématiques; on a ainsi, en algèbre, la formule dite du {\sl binôme de Newton}, qui sert à développer une expression du type $(a+b)^n$ avec $n \in \nset$. Cette formule dit que si $a$ et $b$ sont deux réels quelconques et $n$ un entier quelconque, alors $$ \dresultat{(a+b)^n = \sum_{p=0}^n C_n^p a^p b^{n-p}} $$ autrement dit~: $$ (a+b)^n = C_n^0 b^n + C_n^1 ab^{n-1} + C_n^2 a^2 b^{n-2} + \cdots + C_n^{n-1} a^{n-1} b + C^n_n a^n $$ Appliqué à $n = 4$, la formule du binôme donne~: $$ (a+b)^4 = a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4. $$