\exo{Application de $\rset^3$ vers $\rset^2$ --- Recherche du noyau} On note $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ et $(\vec \ell_1, \vec \ell_2)$ les bases canoniques respectives de $\rset^3$ et $\rset^2$. On note $f$ l'application de $\rset^3$ vers $\rset^2$ définie par $$ f (x, y, z) = (2y, 2z) $$ \itemnum Démontrer que $f$ est une application linéaire. \itemnum Déterminer la matrice associée à $f$ relativement aux bases canoniques de $\rset^3$ et de $\rset^2$. \itemnum Déterminer l'ensemble des vecteurs de $\rset^3$ dont l'image par $f$ est le vecteur nul de $\rset^2$. \finexo \corrige{} \itemnum Il suffit de vérifier les deux propriétés caractéristiques~: \item{} $\bullet$ Soit $\lambda$ un réel quelconque, et $(x, y, z)$ un triplet de $\rset^3$. On a $$ \lambda f (x, y, z) = \lambda (2y, 2z) = (2\lambda y, 2\lambda z), \qquad {\rm et} \qquad f (\lambda x, \lambda y, \lambda z) = (2\lambda y, 2\lambda z). $$ d'où l'égalité \mresultat{\lambda f (x, y, z) = f (\lambda x, \lambda y, \lambda z)} pour tout réel $\lambda$ et tout triplet $(x, y, z) \in \rset^3$. \item{} $\bullet$ Soit $(x, y, z)$ et $(x', y', z')$ deux triplets quelconques de $\rset^3$. On a $$\displaylines{ f (x, y, z) + f (x', y', z') = (2y, 2z) + (2y', 2z') = (2y + 2y', 2z+2z') \cr {\rm et} \quad f (x+x', y+y', z+z') = \big( 2(y+y', 2 (z+z'))\big). \cr }$$ On a donc bien l'égalité \mresultat{f (x, y, z) + f (x', y', z') = f (x+x', y+y', z+z')} pour tout triplets $(x, y, z)$ et $(x', y', z')$ de $\rset^3$. \item{} Finalement, l'application \tresultat{$f$ est linéaire de $\rset^3$ vers $\rset^2$}. \itemnum La matrice associée est $$ \dresultat{{\rm Mat} (f) = \pmatrix{ 0& 2& 0 \cr 0& 0& 2 \cr}} $$ \itemnum On a $$ f (x, y, z) = (0, 0) \quad \Longleftrightarrow \quad (2y, 2z) = (0, 0) \quad \Longleftrightarrow \quad \cases{ y = 0 \cr z = 0 \cr} $$ Le {\sl noyau de $f$}, c'est à dire l'ensemble des vecteurs de $\rset^3$ dont l'image par $f$ est le vecteur nul de $\rset^2$, est constitué de tous \tresultat{les vecteurs de $\rset^3$ de la forme $(x, 0, 0)$} où $x\in\rset$. Géométriquement, cet ensemble est un {\sl espace vectoriel de dimension~1}, représenté par l'axe des $x$ dans l'espace euclidien à 3~dimensions. \fincorrige