\exo{De l'utilité du calcul matriciel} On donne les matrices $$ A = \pmatrix{ 4& 0& 2 \cr 0& 4& 2 \cr 0& 0& 2 \cr} \qquad J = \pmatrix{ 1& 0& 2 \cr 0& 1& 2 \cr 0& 0& -1 \cr} \qquad I = \pmatrix{ 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr} $$ \itemnum Déterminer les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $$ A = aI + bJ $$ \itemnum Calculer $J^2$. \itemnum On suppose que $A = 3I + J$. \item{} \`A l'aide des propriétés connues sur le calcul matriciel, montrer que $$ A^2 = 10I + 6J, $$ et ce {\bf sans calculer sur les coefficients des matrices} $A$, $I$ et $J$. \finexo