\exo{Puissances de matrices} Soient les matrices $$ M = \pmatrix{ 0& 1& -1 \cr -3& 4& -3 \cr -1& 1& 0 \cr} \qquad {\rm et} \qquad I = \pmatrix{ 1& 0& 0 \cr 0& 1& 0 \cr 0& 0& 1 \cr} $$ \itemnum Calculer $M^2$ et $M^3$. \itemnum Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que $$ M^2 = aM + bI. $$ \itemnum Exprimer alors $M^3$ en fonction de $M$ et de $I$, puis écrire $M^3$ sous forme de matrice à 3~lignes et 3~colonnes. Comparer avec le résultat obtenu à la première question. \itemitemalphnum Déduire de l'égalité trouvée à la deuxième question que l'on peut écrire $$ I = {1\over2} M \times (3I - M). $$ \itemitemalph En déduire une matrice $P$ telle que $M \times P = I$. \itemitemalph \'Ecrire $P$ sous forme de matrice à 3~lignes et 3~colonnes. \itemitemalph Calculer $P \times M$. \finexo