\paragraphe{L'espace vectoriel $\rset^2$} L'espace vectoriel $\rset^2$ est certainement le plus connu des espaces vectoriels. Je rappelle ici quelques notions le concernant. $\bullet$ On note $\rset^2$ (ou $\rset \times \rset$) l'ensemble des couples $(x, y)$ de nombres réels ($x \in \rset$ et $y \in \rset$). Traditionnellement, on peut associer à chaque couple $(x, y)$ de $\rset^2$ un vecteur du plan, et ce de manière unique si l'on a pris la peine de définir une base $(\vec \imath, \vec \jmath\/)$ du plan. $\bullet$ Si $\vec \imath$ et $\vec \jmath$ sont deux vecteurs quelconques non nuls du plan, alors tout vecteur $\vec u$ peut s'écrire de manière unique $\vec u = x \vec \imath + y \vec \jmath$. On dit que $(\vec \imath, \vec \jmath\/)$ est une {\sl base du plan\/} et que $(x, y)$ est {\sl le couple de coordonnées de $\vec u$ dans la base $(\vec \imath, \vec \jmath\/)$}. On dispose de deux opérations sur les éléments de $\rset^2$, l'une {\sl interne}, l'addition, qui a lieu entre $2$~éléments de $\rset^2$ et l'autre {\sl externe}, la multiplication par un scalaire, qui a lieu entre un nombre réel et un élément de $\rset^2$. $\bullet$ {\sl Addition}~: si $\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs de coordonnées respectives $(x, y)$ et $(x', y')$ dans la base $(\vec \imath, \vec \jmath\/)$, alors le vecteur somme de $\vec u$ et $\vec u'$, noté $\vec u + \vec u'$, a pour coordonnées $(x + x', y + y')$ dans la base $(\vec \imath, \vec \jmath\/)$. On écrit $$ \vec u + \vec u' = {x \choose y} + {x' \choose y'} = {x + x' \choose y + y'} $$ $\bullet$ {\sl Multiplication par un scalaire}~: si $\lambda$ est un nombre réel et $\vec u$ un vecteur de coordonnées $(x, y)$ dans la base $(\vec \imath, \vec \jmath\/)$, alors le vecteur produit du vecteur $\vec u$ par le réel $\lambda$, noté $\lambda \cdot \vec u$, a pour coordonnées $(\lambda x, \lambda y)$ dans la base $(\vec \imath, \vec \jmath\/)$. On écrit $$ \lambda \cdot \vec u = \lambda \cdot {x \choose y} = {\lambda x \choose \lambda y} $$ Lorsqu'il n'y a aucune ambiguïté, on omet souvent le signe $\cdot$ de cette opération, et on écrit $\lambda \cdot \vec u = \lambda \vec u$. Les vecteurs $\vec u$ et $\lambda \vec u$ sont dit {\sl colinéaires}. $\bullet$ L'ensemble $\rset^2$, muni de l'addition $+$ et de la multiplication $\cdot$ par un scalaire est appelé {\sl espace vectoriel}. On dit qu'il est de {\sl dimension~$2$}.