\paragraphe{Applications linéaires} \sparagraphe{Application linéaire de $\rset$ dans $\rset$} On rappelle que si $a$ est un nombre réel, la fonction $f$ définie sur $\rset$ par $f (x) = ax$ est appelée {\sl application linéaire}. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Une telle fonction vérifie en particulier les propriétés suivantes~: \item{$\bullet$} Quels que soit les nombres réels $x_1$ et $x_2$, on a $$ f (x_1 + x_2) = f (x_1) + f (x_2) $$ \item{$\bullet$} Quels que soit les nombres réels $\lambda$ et $x$, on a $$ f (\lambda x) = \lambda f (x) $$ \remarque En fait, les seules applications linéaires de $\rset$ dans $\rset$ sont les fonctions ayant une définition du type $f (x) = ax$ pour un certain réel $a$. \finremarque \sparagraphe{Application linéaire de $\rset^p$ dans $\rset^n$} \assert Définition . Une application $f$ de $\rset^p$ dans $\rset^n$ est dite {\sl linéaire\/} si elle vérifie les propriétés suivantes~: \itemitem{$\bullet$} Quels que soit les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de $\rset^p$, on a $$ f (\vec u + \vec v) = f (\vec u) + f (\vec v) $$ \itemitem{$\bullet$} Quels que soit le nombre réel $\lambda$ et le vecteur $\vec u \in \rset^p$, on a $$ f (\lambda \vec u) = \lambda f (\vec u) $$ \endassert \assert Théorème . Une application $f$ de $\rset^p$ dans $\rset^n$ est linéaire si et seulement si, quels que soit les réels $\lambda$ et $\mu$, et quels que soit les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de $\rset^p$, on a $$ f (\lambda \vec u + \mu v) = \lambda f (\vec u) + \mu f (\vec v) $$ \endassert \sparagraphe{Caractérisation} Soit $(\vec e_1, \vec e_2, \ldots, \vec e_p)$ la base canonique de $\rset^p$, et $f$ une application linéaire de $\rset^p$ vers $\rset^n$. Alors l'application $f$ est entièrement déterminée par les images $f (\vec e_1)$, $f (\vec e_2)$, \dots, $f (\vec e_p)$ des vecteurs $(\vec e_1, \vec e_2, \ldots, \vec e_p)$. En d'autres termes, si $g$ est une application linéaire de $\rset^p$ vers $\rset^n$, telle que $$ g (e_i) = f (e_i) \qquad \hbox{pour tout entier $i$, $1 \leq i \leq p$} \qquad \qquad {\rm alors} \qquad f = g. $$