\paragraphe{Rappels et compléments sur les équations linéaires} \sparagraphe{Vocabulaire} $\bullet$ Une {\sl équation\/}, c'est une égalité mathématique comportant des inconnues (ou variables). Suivant les valeurs que l'on donne à ces inconnues, l'égalité peut être {\sl vraie\/}, {\sl fausse\/} ou {\sl absurde\/} (i.e. sans aucun sens)% \footnote{$^*$}{en fait, le mathématicien allemand Kurt G\"odel (né en $1906$) a provoqué une véritable révolution dans le monde des logiciens lorsqu'il a montré, en $1931$, qu'une telle égalité peut aussi être {\sl indécidable}. C'est l'histoire de l'{\sl axiome du choix\/}, bien connu des étudiants en mathématique~\dots}. Par exemple, les égalités suivantes $$ 1 = 1, \qquad 1 = 0, \qquad {1\over0} = 0. $$ sont respectivement vraie, fausse, et absurde. $\bullet$ {\sl Résoudre une équation dans un ensemble $E$\/}, c'est déterminer l'ensemble $S$ des éléments de $E$ tels que l'équation soit vraie. L'ensemble $S$ est appelé {\sl ensemble des solutions\/} de l'équation. $\bullet$ Deux équations sont dites {\sl équivalentes\/} lorsqu'elles ont le même ensemble de solutions. \sparagraphe{\'Equation linéaire à 1 inconnue} On considère l'équation $$ ax + b = 0, \qquad {\rm où} \quad (a, b) \in \rset^2. \leqno (E) $$ Si $a \neq 0$, il est bien connu que cette équation admet une solution unique $x_0$ définie par $x_0 = a^{-1}b$, où $a^{-1}$ désigne le nombre réel tel que $a \times a^{-1} = 1$. Si $a = 0$, alors soit l'équation $(E)$ n'admet aucune solution, soit elle en admet une infinité (en fait $\rset$ tout entier). \sparagraphe{Système de 2 équations linéaires à 2 inconnues} \setbox10 =\vbox{% \halign{ $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& $\hfil # ={}$& $\hfil#$ \cr ax& +& by& c \cr a'x& +& b'y& c' \cr }} On considère le système $$ \left\{ \vcenter{\box10} \right. \qquad {\rm où} \quad (a, b, c) \in \rset^3 \quad {\rm et} \quad (a', b', c') \in \rset^3 $$ Une {\sl solution\/} de ce système est un couple $(x, y) \in \rset^2$ tel que les deux égalités soient vraies simultanément. Géométriquement, si $(a, b) \neq (0, 0)$ et $(a', b') \neq (0, 0)$, on peut interpréter ce système comme caractérisant une intersection de droites dans le plan. \bgroup \catcode`\| = 12 $\bullet$ Si $\displaystyle{ \left| \matrix{a& b\cr a'& b' \cr} \right| } \mathop=^{\rm def} ab' - a'b \neq 0$, alors le système admet une solution unique. Géométriquement, on est dans le cas de deux droites sécantes. \egroup $\bullet$ Sinon le système possède soit aucune solution, soit une infinité (cas de deux droites parallèles). \setbox10 =\vbox{% \halign{ $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& $\hfil # ={}$& $\hfil#$ \cr x& -& y& 1 \cr x& +& y& 1 \cr }} \remarque La plupart de vos calculatrices sont capables de résoudre de tels systèmes lorsqu'ils ont une solution unique. Elles utilisent pour cela le {\sl calcul matriciel}. Par exemple, considèrons le système $$ \left\{ \vcenter{\box10} \right. $$ qui admet pour solution unique dans $\rset^2$ le couple $(x, y) = (1, 0)$. En notation matricielle, ce système s'écrit $$ \pmatrix{1& -1\cr 1& 1\cr} \pmatrix{x \cr y\cr} = \pmatrix{1\cr 1\cr} $$ soit $AX = B$ si l'on pose $A = \pmatrix{1& -1\cr 1& 1\cr} $, $X = \pmatrix{x \cr y\cr}$ et $B = \pmatrix{1\cr 1\cr}$. \hfill\break Si $\det A \neq 0$, le système admet alors une solution unique $X = A^{-1}B$. \finremarque \sparagraphe{Système de 3 équations linéaires à 3 inconnues} \setbox10 =\vbox{% \halign{ $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& $\hfil # ={}$& $\hfil#$ \cr ax& +& by& +& cz& d \cr a'x& +& b'y& +& c'z& d' \cr a''x& +& b''y& +& c''z& d'' \cr }} On considère le système $$ \left\{ \vcenter{\box10} \right. \qquad {\rm où} \quad (a, b, c, d) \in \rset^4, \quad (a', b', c', d') \in \rset^4 \quad {\rm et} \quad (a'', b'', c'', d'') \in \rset^4 $$ Une {\sl solution\/} de ce système est un triplet $(x, y, z) \in \rset^3$ tel que les trois égalités soient vraies simultanément. Géométriquement, on peut interpréter ce système comme caractérisant une intersection de plans dans un espace à trois dimensions. Un tel système possède~: soit une solution unique, soit aucune solution, soit une infinité de solutions.