\paragraphe{Système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues} On appelle {\sl système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$\/} un système de la forme $$ \left \{ \matrix { a_{11} x_1& +& a_{12} x_2& +& \cdots & +& a_{1n} x_n& =& b_1 \cr a_{21} x_1& +& a_{22} x_2& +& \cdots & +& a_{2n} x_n& =& b_2 \cr \vdots && \vdots && \cdots && \vdots && \vdots \cr a_{m1} x_1& +& a_{m2} x_2& +& \cdots & +& a_{mn} x_n& =& b_m \cr } \right. $$ où les $a_{ij}$ sont les coefficients et les $b_j$ des constantes. On dit parfois, pour abréger, que c'est un {\sl système $(m, n)$} (veiller à bien respecter l'ordre des indices~: ligne--colonne). Matriciellement, un tel système se note $AX = B$ où $$ A = \pmatrix{ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \cr}, \qquad X = \pmatrix{x_1\cr x_2\cr \vdots\cr x_n\cr}, \qquad B = \pmatrix{b_1\cr b_2\cr \vdots\cr b_m\cr}. $$ $\bullet$ Une solution d'un tel système est un $n$-uplet $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \rset^n$. $\bullet$ Deux systèmes sont dits {\sl équivalents\/} si et seulement si ils admettent le même ensemble de solutions. \medskip \noindent {\bf Propriété~:} {\sl Résolution d'un système linéaire carré} \bgroup \narrower Un système linéaire $(n, n)$ admet~: \itemitem{--} soit aucune solution, \itemitem{--} soit une solution unique, \itemitem{--} soit une infinité de solutions. \egroup \noindent {\bf dém~:} admis. \remarque Dans le cas d'un système carré $(n, n)$ quelconque, et comme dans le cas $n = 2$, on retrouve le résultat suivant~: si $\det A \neq 0$, le système étudié admet une solution unique $X$ définie par $X = A^{-1}B$. Les calculatrices courantes sont alors capables (en principe) de résoudre le système considéré. \finremarque \medskip \noindent {\bf Propriété~:} {\sl Opérations sur les lignes} \bgroup \narrower On transforme un système en un système équivalent si~: \itemitem{--} on échange deux lignes (notation $L_i \leftrightarrow L_j$), \itemitem{--} on multiplie une ligne par un réel $\lambda$ non nul (notation $L_i \leftarrow \lambda L_i$), \itemitem{--} on remplace une ligne $L_i$ par la somme de $L_i$ et d'une autre ligne (notation $L_i \leftarrow L_i + L_j$) \egroup \noindent {\bf dém~:} admis. \medskip \noindent {\bf Propriété~:} {\sl Opérations sur les colonnes} \bgroup \narrower On transforme un système en un système équivalent si l'on effectue les opérations de la propriété précédente sur les colonnes plutôt que sur les lignes. Les notations deviennent alors respectivement~: $$ C_i \leftrightarrow C_j, \qquad C_i \leftarrow \lambda C_i, \qquad C_i \leftarrow C_i + C_j. $$ \egroup \noindent {\bf dém~:} admis.