gaus_002.tex

\exo{La méthode du pivot de Gauss}
 
\setbox10 =\vbox{%
\halign{
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil # ={}$& $\hfil#$
\cr
   x & -& y& +& 2z& +& t& 1
\cr
   2x& -& 4y& +& z& +& t& 6
\cr
   x& -& y& +& z& -& t& 2
\cr
   3x& +& y& +& z& +& 2t& 1
\cr
}}
 
 
Le but de l'exercice est d'appliquer la méthode du pivot de Gauss
à la résolution dans $\rset^4$ du système
$$
   \left\{ \vcenter{\box10} \right.
\leqno 
   (S_0)
$$
 
\itemitemalphnum Effectuer les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$,
$L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ et $L_4 \leftarrow L_4 - 3L_1$ pour obtenir
le système $(S_1)$.
 
\itemitemalph Effectuer la transformation $L_4 \leftarrow L_4 + 2L_2$
pour obtenir le système $(S_2)$.
 
\itemitemalph Effectuer la transformation $L_4 \leftarrow L_4 - 11L_3$
pour obtenir le système triangulaire $(S_3)$.
 
\itemitemalph Résoudre dans $\rset^4$ le système $(S_0)$.
 
\remarque
Dans la ligne $L_1$ de $(S_0)$, le coefficient de $x$ s'appelle le 
{\sl premier pivot}.
Dans la ligne $L_2$ de $(S_1)$, le coefficient de $y$ s'appelle le 
{\sl deuxième pivot}.
Dans la ligne $L_3$ de $(S_2)$, le coefficient de $z$ s'appelle le 
{\sl troisième pivot}.
\finremarque
 
\itemnum Résoudre, en suivant le principe de la méthode de Gauss, 
les systèmes
 
\setbox10 =\vbox{%
\halign{
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil # ={}$& $\hfil#$
\cr
   x_1 & +& 2x_2& -& 3x_3& +& x_4& 1
\cr
   x_1& +& 2x_2& -& x_3& +& 2x_4& 2
\cr
   x_1& +& 2x_2& -& 2x_3& +& 2x_4& 5
\cr
}}
 
\setbox11 =\vbox{%
\halign{
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil # ={}$& $\hfil#$
\cr
   2x_1 & +& 5x_2& +& x_3& -& x_4& 7
\cr
   x_1& +& 2x_2& -& x_3& +& x_4& 8
\cr
   3x_1& +& x_2& -& 2x_3& +& 2x_4& 2
\cr
   2x_1& +& x_2& +& x_3& +& 3x_4& 1
\cr
}}
 
$$
   ({\cal S}) \quad \left\{ \vcenter{\box11} \right.
      \qquad {\rm et} \qquad
   ({\cal S'}) \quad \left\{ \vcenter{\box10} \right.
$$
 
\finexo
 
\corrige{}
 
\itemnum Système final~:
$\displaystyle{\catcode`\|=12
   \pmatrix{
      1& -1& 2& 1& | & 1
   \cr
      0& -2& -3& -1& | & 4
   \cr
      0& 0& -1& -2& | & 1
   \cr
      0& 0& 0& 19& | & -5
   \cr}
}$
et solution~: 
$\displaystyle{
   X = {1\over 19} \pmatrix{
      20\cr 
      -22\cr
      -9\cr
      -5\cr}
}$
 
\itemnum Solution unique pour ${\cal S}$~: 
$\displaystyle{
   X = {1\over 16} \pmatrix{
      -53\cr
      57\cr
      -17\cr
      33\cr}
}$. Droite vectorielle solution pour ${\cal S'}$~:
$\displaystyle{
   X = \pmatrix{
      -2\alpha -15\cr
      \alpha\cr
      -3\cr
      7\cr}
}$.
 
\fincorrige