\exo{Application linéaire de $\rset^3$ vers $\rset^3$} L'espace vectoriel $\rset^3$ est muni de sa base canonique $B = (\vec \imath, \vec \jmath, \vec k)$. On considère l'application linéaire $f$ de $\rset^3$ vers $\rset^3$ définie par $$ f (\vec \imath) = 2 \vec \imath + \vec \jmath, \qquad f (\vec \jmath) = - \vec \imath + 3 \vec \jmath + \vec k, \qquad f (\vec k) = \vec \jmath - \vec k. $$ \itemnum Déterminer la matrice $M$ de $f$ relativement à la base canonique de $\rset^3$. \itemnum Soit $\vec u = x \vec \imath + y \vec \jmath + z \vec k$ un vecteur quelconque de $\rset^3$ et $\vec u' = f (\vec u)$ son image par $f$. \itemitemalph Exprimer le vecteur $\vec u'$ en fonction des vecteurs $f (\vec \imath)$, $f (\vec \jmath)$ et $f (\vec k)$. \itemitemalph En déduire les coordonnées $x'$, $y'$ et $z'$ du vecteur $\vec u'$ dans la base $B$, en fonction de $x$, $y$ et $z$. \itemnum On note $U$ et $U'$ les matrices colonnes formées des coordonnées de $\vec u$ et $\vec u'$ respectivement. \itemitemalph Calculer le produit matriciel $M \times U$ \itemitemalph En déduire une écriture matricielle du système d'équations linéaires donnant les coordonnées de $\vec u'$ en fonction des coordonnées de $\vec u$. \finexo