\exo{Application linéaire de $\rset^3$ vers $\rset^3$} L'espace vectoriel $\rset^3$ est muni de la base canonique $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$. \itemnum On considère la matrice $$ M = \pmatrix{ 1& 1& 2 \cr 0& 1& 1 \cr -1& 0& -2 \cr}. $$ Calculer $M^2$. \itemnum Soit $f$, l'application linéaire de $\rset^3$ dans $\rset^3$ de matrice $M^2$ dans la base $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$. \itemitemalph Déterminer les vecteurs $f (\vec e_1)$, $f (\vec e_2)$ et $f (\vec e_3)$. \itemitemalph Soit $\vec v (3, 0, 1)$ et $\vec w (x, y, z)$ deux vecteurs de $\rset^3$. Déterminer les trois nombres réels $x$, $y$ et $z$ tels que l'on ait $f (\vec v) = \vec w$. (On rappelle que cela implique $M^2 \times V = W$, si $V$ et $W$ sont respectivement les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs $\vec v$ et $\vec w$). \finexo \corrige{} \itemnum On trouve $$\dresultat{ M^2 = \pmatrix{ -1& 2& -1 \cr -1& 1& -1 \cr 1& -1& 2 \cr}}. $$ \itemalphnum On a donc $$ \mresultat{f (\vec e_1) = - \vec e_1 - \vec e_2 + \vec e_3}, \qquad \mresultat{f (\vec e_2) = 2 \vec e_1 + \vec e_2 - \vec e_3}, \qquad \mresultat{f (\vec e_3) = - \vec e_1 - \vec e_2 + 2 \vec e_3}. $$ Autrement dit, les coordonnées, dans la base $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$, de vecteurs $f (\vec e_1)$, $f (\vec e_2)$ et $f (\vec e_3)$ sont respectivement \mresultat{(-1, -1, 1)}, \mresultat{(2, 1, -1)} et \mresultat{(-1, -1, 2)}. \itemalph On a $$ \pmatrix{ -1& 2& -1 \cr -1& 1& -1 \cr 1& -1& 2 \cr} \times \pmatrix{ 3 \cr 0 \cr 1 \cr} = \pmatrix{ x \cr y \cr z \cr} \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat{\vec w = (-4, -4, 5)} $$ \fincorrige