\exo{Produit de matrices} On considère les matrices suivantes~: $$ M = \pmatrix{ 1& -1& 2 \cr 2& a& 1 \cr 3& -a& 8 \cr}, \qquad \qquad A = \pmatrix{ -9& 9& -18 \cr 1& -1& 2 \cr 5& -5& 10 \cr} \qquad {\rm et} \qquad O = \pmatrix{ 0& 0& 0 \cr 0& 0& 0 \cr 0& 0& 0 \cr} $$ où $a$ est un nombre réel quelconque. \itemnum Calculer le produit $M \times A$. En déduire le nombre réel $a$ pour lequel on a $M \times A = O$. \itemnum Calculer le produit $A \times M$ pour la valeur de $a$ obtenue. \finexo \corrige{} \num\ On trouve $$\dresultat{ M \times A = \pmatrix{ 0& 0& 0 \cr -13 + a& 13 - a& -26 + 2a \cr 13 - a& -13 + a& 26 - 2a \cr}. }$$ L'égalité $M \times A = O$ conduit alors à un système de $9$~équations, équivalent au système $$ \cases{ -13 + a = 0 \cr 13 - a = 0 \cr -26 + 2a = 0 \cr} \qquad \hbox{\rm D'où la seule valeur de $a$ possible~:} \quad \mresultat{a = 13}. $$ Et le produit $A \times M$ donne alors $$\dresultat{ A \times M = \pmatrix{ -45& 360& -153 \cr 5& -40& 17 \cr 25& -200& 85 \cr} }$$ On a donc trouvé un exemple où $M \times A = 0$ et $A \times M \neq 0$, ce qui serait inimaginable si $A$ et $M$ étaient des nombres réels ou complexes. \fincorrige