\exo{Loi binômiale~: un cas d'école} On considère une épreuve aléatoire débouchant sur deux éventualités~: succès et échec, de probabilités respectives $0, 7$ et $0, 3$. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à $n$ épreuves aléatoires indépendantes le nombre $k$ de succès. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui associe à $n$ épreuves aléatoires indépendantes le nombre $k$ d'échecs. \itemitemalphnum Quelles sont les lois suivies par $X$ et $Y$~? \itemitemalph Déterminer, en fonction de $n$, l'expression de~: $$ P (X = k), \qquad P (Y = k), \qquad P (X = 0), \qquad P (X \geq 1), \qquad P (Y = n). $$ \itemitemalphnum On suppose que $n = 10$. Calculer $$ P (X = 0), \qquad P (X = 2), \qquad P (X \leq 2), \qquad P (X > 2). $$ \itemitemalph Toujours avec $n=10$, déterminer l'espérance mathématique $E (X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de la variable aléatoire $X$. \finexo