\exo {Loi binômiale et contrôle de livraison} \` A la livraison d'un nombre très important de pièces dont $1\% $ sont défectueuses, on prélève au hasard un échantillon de 50~pièces. La population est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise, répété 50~fois. On a donc une succession de cinquante épreuves indépendantes. On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 50~pièces le nombre de pièces défectueuses. \itemnum Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binômiale. Donner les paramètres de cette loi. \itemnum Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité des événements suivants~: \itemitemalph $A$~: \og {\sl L'échantillon ne comporte aucune pièce défectueuse}\fg ; \itemitemalph $B$~: \og {\sl L'échantillon comporte une seule pièce défectueuse}\fg ; \itemitemalph $C$~: \og {\sl L'échantillon comporte au moins deux pièces défectueuses}\fg ; \finexo \corrige {} \itemnum L'épreuve aléatoire consiste à effectuer un tirage au hasard d'une pièce dans le stock. \tresultat {2~issues sont possibles}~: la pièce est avec ou sans défaut, la probabilité d'avoir un défaut étant de $0, 01$. On effectue $50$ fois cette expérience, les 50~expériences étant \tresultat {indépendantes}. La variable $X$ comptant le nombre de fois où on a eu un défaut, elle suit \tresultat {la loi binômiale ${\cal B} (50; 0, 01)$}; \itemalphnum On a alors $$ p (X=0) = C_{50}^0 (0, 01)^0 (0, 99)^{50} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X=0) \approx 0, 605}. $$ \itemalph De même $$ p (X=1) = C_{50}^1 (0, 01)^1 (0, 99)^{49} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X=1) \approx 0, 306}. $$ \itemalph Et enfin $$ p (X \geq 2) = 1 - p (X<2) = 1 - p (X=0) - p (X=1) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X\geq 2) \approx 0, 089}. $$ \fincorrige