\exo {Probabilités conditionnelles} Deux machines $M_A$ et $M_B$ produisent chaque jour respectivement 100 et 200~pièces du même modèle. La machine $A$ sort 5\% de pièces défectueuses, la machine $M_B$ en sort 6\%. \itemnum Faire un diagramme ensembliste pour représenter la situation journalière. \itemnum Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant qui résume la situation journalière~: $$ \vcenter{\offinterlineskip\halign{ % preamble #\tv && \cc{#}& #\tv \cr & && \tvi depth 12pt $\matrix { \hbox{Nombre de pièces} \cr \hbox{produites par $M_A$}}$ && $\matrix{ \hbox{Nombre de pièces} \cr \hbox{produites par $M_B$}}$ && Total& \cr \noalign{\hrule} & \tvi depth 12pt height 15pt $\matrix{ \hbox{Nombre de pièces} \cr \hbox{défectueuses}}$ && && && & \cr \noalign{\hrule} & \tvi depth 12pt height 15pt $\matrix{ \hbox{Nombre de pièces} \cr \hbox{non défectueuses}}$ && && && & \cr \noalign{\hrule} & Total&& && && 300& \cr \noalign{\hrule} }} $$ \itemnum Un jour donné, on choisit au hasard une pièce parmi la production des deux machines. On admet que l'on est dans une situation d'équiprobabilité. \item{} On considère les événements suivants~: \itemitem{} $A$~: \og {\sl La pièce choisie provient de la machine $M_A$}\fg \itemitem{} $B$~: \og {\sl La pièce choisie provient de la machine $M_B$}\fg \itemitem{} $D$~: \og {\sl La pièce choisie est défectueuse}\fg \itemitem{} $\overline D$~: \og {\sl La pièce choisie n'est pas défectueuse}\fg \item{} Calculer la probabilité des événements suivants~: $$ A, \qquad B, \qquad D, \qquad \overline D, \qquad A \cap D, \qquad B \cap \overline D. $$ \itemnum On note $p_D (A)$ la probabilité de l'événement \og {\sl $A$ sachant $D$}\fg, autrement dit la probabilité que la pièce choisie provienne de la machine $M_A$, sachant que cette pièce est défectueuse. \itemitemalph Déterminer les probabilités $p_D (A)$ et $p_{\overline D} (B)$. \itemitemalph \`A l'aide des questions précédentes, vérifier que l'on a bien $$ p_D (A) \times p (D) = p (A \cap D) \qquad {\rm et} \qquad p_{\overline D} (B) \times p (\overline D) = p (B \cap \overline D) $$ \finexo