\exo{Fiabilité de contrôles de moteurs en Formule~1} Un constructeur de moteurs pour \og Formule~1\fg\ fabrique des moteurs de compétition. La probabilité qu'un de ces moteurs soit exempt de défaut, et par suite ne casse pas lors d'un grand prix, est~$0, 8$. On dira pour simplifier qu'un tel moteur est \og bon\fg, et on notera $B$ l'événement~: \og {\sl le moteur est bon}\fg. Avant chaque Grand Prix, un contrôle très sévère est effectué~: soit le moteur est déclaré utilisable, soit il est rejeté. On note $U$ l'événement~: \og {\sl le contrôle déclare le moteur utilisable}\fg. Ce contrôle n'est pas infaillible~: \item{--} sachant qu'un moteur est bon, il est déclaré utilisable dans $95\%$~ des cas; \item{--} sachant qu'un moteur a un défaut, il est rejeté dans $80\%$~des cas. On choisit un moteur au hasard la veille du grand prix du Zimbabwé. \itemnum Calculer la probabilité des événements suivants~: \itemitemalph $V$~: \og {\sl le moteur est bon et il est déclaré utilisable}\fg, \itemitemalph $W$~: \og {\sl le moteur a un défaut et il est déclaré utilisable}\fg. \itemitemalph En déduire la probabilité de $U$. \itemnum Montrer que la probabilité qu'un moteur soit bon, sachant qu'il est déclaré utilisable, est~$0, 95$. \finexo \corrige On résume la situation par un tableau en ramenant la situation sur $100$ moteurs~: $$ \vcenter{\offinterlineskip\halign{ % preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule } & && B&& \overline B&& {\rm total}& \cr \noalign{\hrule } & U&& \bf 76&& 4&& 80& \cr \noalign{\hrule } & \overline U&& 4&& \bf 16&& 20& \cr \noalign{\hrule } & {\rm total}&& \bf 80&& 20&& 100& \cr \noalign{\hrule } }} \qquad \qquad \vcenter { \hsize .3 \hsize $p (B) = 0, 8 \longrightarrow 0, 80 \times 100 = 80 $\par $p _B (U) = 0, 95 \longrightarrow 0, 95 \times 80 = 76 $\par $p _{\overline B} (\overline U) = 0, 8 \longrightarrow 0, 80 \times 20 = 16 $\par } $$ \everymath = {\displaystyle } \itemnum On a alors, par simple lecture du tableau~: $$ \alph \quad p (V) = p (B \cap U) = {76\over 100} \qquad \qquad \alph \quad p (W) = p (\overline B \cap U) = {4\over 100} \qquad \qquad \alph \quad p (U) = {80\over 100} $$ \itemnum Toujours par lecture du tableau, on a \dresultat {p_U (B) = {76\over 80} = 0, 95}. \fincorrige