\exo{Test de contrôle dans l'industrie pharmaceutique} Une société de produits pharmaceutiques fabrique en très grande quantité un certain type de comprimés. Un comprimé est conforme si sa masse exprimée en grammes appartient à l'intervalle $[1, 2;1, 3]$. La probabilité qu'un comprimé soit conforme est $0, 98$. On choisit un comprimé au hasard dans la production. On note~: \item{} $A$~: l'événement \og {\sl le comprimé est conforme}\fg; \item{} $B$~: l'événement \og {\sl le comprimé est refusé}\fg. On contrôle tous les comprimés. Le mécanisme de contrôle est tel que~: \itemitem{--} un comprimé qui est conforme est accepté avec une probabilité de $0, 98$. \itemitem{--} un comprimé qui n'est pas conforme est refusé avec une probabilité de $0, 99$. On a donc $$ p (A) = 0, 98 \qquad \qquad p (\overline{B} | A) = 0, 98 \qquad \qquad p (B | \overline{A}) = 0, 99 $$ \itemnum Déterminer $$ p (B|A), \qquad \qquad p (B \cap A), \qquad \qquad p (B \cap \overline{A}), $$ \itemnum Calculer \itemitemalph la probabilité qu'un comprimé soit refusé, \itemitemalph la probabilité qu'un comprimé soit conforme, sachant qu'il est refusé. \finexo \corrige{} %% ===== local ====== \def \T{% {\rm Total}} %% ================== {\bf Avec un dessin ou un tableau} On essaye de récapituler la situation avec un dessin ou un tableau sur une population $\Omega$ de cardinal $10\, 000$ (d'où le contenu de la case $(\T, \T )$)~: $$\vbox{\halign{ \offinterlineskip %% preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & && B && \overline{B} && {\rm Total}& \cr \noalign{\hrule} & A&& 196&& 9\, 604&& 9\, 800& \cr \noalign{\hrule} & \overline A && 198&& 2&& 200& \cr \noalign{\hrule} & {\rm Total}&& 394&& 9\, 606&& 10\, 000& \cr \noalign{\hrule} }}$$ De $p (A) = 0, 98$, on tire le contenu de la case $(A, {\T}) \rightarrow 9\, 800$. On sait que $p (\overline{B} | A) = 0, 98$, autrement dit, parmi la population de $A$, il y a $98\%$ de non$B$. Ce que l'on peut encore traduire par $\card (A \cap \overline B) = 0, 98 \times \card (A)$. On en déduit le contenu de la case $(A, \overline{B}) \rightarrow 9\, 604$. De plus, $p (B | \overline A) = 0, 99$. Il y a donc $99\%$ de $B$ chez les non$A$, ou encore, $\card (B \cap \overline{A}) = 0, 99 \times \card \overline{A}$. On en déduit le contenu de la case $(\overline A, B) \rightarrow 198$. Reste à compléter le tableau, ce qui n'est plus qu'un jeu d'enfant. \itemnum On a alors, par lecture directe~: $$\displaylines{ p (B|A) = {\card (B \cap A) \over \card A} = {196 \over 9\, 800}, \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (B|A) = 0, 02} \cr p (B \cap A) = {\card (B \cap A) \over \card \Omega} = {196 \over 10\, 000} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (B \cap A) = 0, 019\, 6} \cr p (B \cap \overline A) = {\card (B \cap \overline A) \over \card \Omega} = {198 \over 10\, 000} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (B \cap \overline A) = 0, 019\, 8} \cr }$$ \itemalphnum On a de la même façon $$ p (B) = {\card (B) \over \card \Omega} = {394 \over 10\, 000} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (B) = 0, 039\, 4} $$ \itemalph et $$ p (A | B) = {\card (A \cap B) \over \card B} = {196 \over 394} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (A | B) \simeq 0, 497\, 5} $$ {\bf Avec les formules} \clearnumno Pour alléger l'écriture, je note $p_A (B)$ la probabilité $p (B|A)$. On a donc, par hypothèse, $$ p (A) = 0, 98 \qquad \qquad p_A (\overline{B}) = 0, 98 \qquad \qquad p_{\overline{A}} (B) = 0, 99 $$ \itemnum $\bullet$ On commence par utiliser une formule à peine vue en cours, mais utilisée lors de l'exercice sur les groupes sanguins ({\sl formule des probabilités totales})~: comme $(B, \overline B)$ est une partition de $\Omega$, on peut affirmer que $$ \dresultat{p (A \cap B) + p (A \cap \overline B) = p (A)}. $$ On en déduit alors, puisque $p (A \cap B) = p (A) \times p_A (B)$ par définition, que $$ p (A) \times p_A (B) + p (A) \times p_A (\overline B) = p (A) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p_A (B) + p_A (\overline B) = 1} $$ Connaissant $p_A (\overline B)$, on peut alors calculer $p_A (B) = 1 - 0, 98$, soit \dresultat{p_A (B) = 0, 02}. \item{} $\bullet$ Maintenant, de la définition $p_A (B) = p (A \cap B) / p (A)$, on tire $p (A \cap B) = p_A (B) \times p (A) = 0, 02 \times 0, 98$ soit \dresultat{p (A \cap B) = 0, 019\, 6}. \item{} $\bullet$ Pour le dernier, on utilise encore la conséquence directe de la définition pour dire que $$ p (B \cap \overline A) = p (\overline A) \times p_{\overline A} (B) = (1 - p (A)) \times p_{\overline A} (B) = 0, 02 \times 0, 99 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (B \cap \overline A) = 0, 019\, 8} $$ \itemalphnum Comme $(A, \overline A)$ est une partition de $\Omega$, on peut réutiliser la formule des probabilités totales pour dire que $$ p (B \cap \overline A) + p (B \cap A) = p (B) \qquad {\rm ie} \qquad 0, 019\, 8 + 0, 019\, 6 = p (B) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (B) = 0, 039\, 4} $$ \itemalph Enfin, comme $$ p_B (A) = {p (A \cap B) \over p (B)} = {0, 019\, 6 \over 0, 039\, 4} \quad {\rm par\ définition}, \qquad {\rm on\ a} \qquad \dresultat{p_B (A) \simeq 0, 497\, 5} $$ \fincorrige