\exo{Productique} Trois machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$ produisent le même type de tiges d'acier. Les productions journalières de $M_1$, $M_2$ et $M_3$ sont respectivement $n_1 = 2\, 200$, $n_2 = 2\, 100$ et $n_3 = 1\, 700$. La probabilité qu'une tige tirée au hasard parmi la production d'une {\sl même\/} machine soit défectueuse est $p_1 = 0, 06$ pour $M_1$, $p_2 = 0, 08$ pour $M_2$, et $p_3 = 0, 07$ pour $M_3$. \itemnum Récapituler la situation journalière dans un tableau. \itemnum On choisit une tige au hasard dans la production d'une journée. Tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité à $10^{-3}$ près de chacun des événements suivants~: \itemitemalph \og {\sl la tige choisie est défectueuse et provient de $M_1$}\fg, \itemitemalph \og {\sl la tige choisie est défectueuse et provient de $M_2$}\fg, \itemitemalph \og {\sl la tige choisie est défectueuse et provient de $M_3$}\fg, \itemitemalph \og {\sl la tige choisie provient de $M_1$, sachant qu'elle est défectueuse}\fg. \finexo \corrige{} \itemnum La production journalière se résume avec le tableau suivant~: $$\vbox{\offinterlineskip\halign{ % preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule } & && M_1&& M_2&& M_3&& {\rm total}& \cr \noalign{\hrule } & D&& 132&& 168&& 119&& 419& \cr \noalign{\hrule } & \overline D&& 2\, 068&& 1\, 932&& 1\, 581&& 5\, 581& \cr \noalign{\hrule } & {\rm total}&& 2\, 200&& 2\, 100&& 1\, 700&& 6\, 000& \cr \noalign{\hrule } }}$$ où l'on a bien sûr noté $D$ l'événement \og {\sl la tige est défectueuse}\fg. \itemnum On a alors \everymath = {\displaystyle } \itemalph $p (D \cap M_1) = {\card (D \cap M_1) \over \card \Omega} = {132 \over 6\, 000}= {11 \over 500}$, soit \dresultat{p (D \cap M_1) = 0, 022}. \itemalph $p (D \cap M_2) = {\card (D \cap M_2) \over \card \Omega} = {168 \over 6\, 000} = {7 \over 250}$, soit \dresultat{p (D \cap M_2) = 0, 028}. \itemalph $p (D \cap M_3) = {\card (D \cap M_3) \over \card \Omega} = {119 \over 6\, 000}$, soit \dresultat{p (D \cap M_3) \simeq 0, 019\, 8}. \itemalph $p_D (M_1) = {\card (D \cap M_1) \over \card D} = {132 \over 419} $, soit \dresultat{p_D (M_1) \simeq 0, 315}. \fincorrige