\exo {Des erreurs dans le contrôle} Dans un atelier, on contrôle les pièces d'un certain modèle qui sont fabriquées en grande quantité. Parmi celles-ci, $2\% $ sont défectueuses. Le contrôle est tel que $96\% $ des pièces non défectueuses sont acceptées, et que $98\% $ des pièces défectueuses sont refusées. \itemnum On considère un lot de $10\, 000$ pièces respectant ces pourcentages. Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant~: $$\vcenter {\offinterlineskip \halign { % preamble \tv #&& \quad \hfil #\quad \hfil & #\tv \cr \omit && \omit & \omit \hrulefill & \omit & \omit \hrulefill & \omit & \omit \hrulefill & \omit \cr \omit &&& $\matrix { \hbox {\tvi Nombre de}\cr \hbox {pièces}\cr \hbox {défectueuses}\cr }$ && $\matrix { \hbox {\tvi Nombre de}\cr \hbox {pièces non}\cr \hbox {défectueuses}\cr }$ && Total& \cr \noalign {\hrule } &$\matrix { \hbox {\tvi Nombre de}\cr \hbox {pièces acceptées}\cr \hbox {\tvi height 0pt après le contrôle}\cr }$ && && && & \cr \noalign {\hrule } &$\matrix { \hbox {\tvi Nombre de}\cr \hbox {pièces refusées}\cr \hbox {\tvi height 0pt après le contrôle}\cr }$ && && && & \cr \noalign {\hrule } &Total && && && $10\, 000$& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum On choisit au hasard une pièce parmi les $10\, 000$ d'un tel lot. On est dans une situation d'équiprobabilité. On considère les événements suivants~: \itemitem {} $E_1$~: \og {\sl La pièce est défectueuse et acceptée par le contrôle}\fg \itemitem {} $E_2$~: \og {\sl La pièce est bonne et refusée par le contrôle}\fg \itemitem {} $E_3$~: \og {\sl Il y a une erreur dans le contrôle}\fg \item {} Déterminer les probabilités $p (E_1)$, $p (E_2)$ et $p (E_3)$. \itemnum Déterminer la probabilité de l'événement \og {\sl La pièce est bonne sachant qu'elle a été refusée}\fg . \finexo \corrige {} \itemnum On a $0, 02 \times 10\, 000 = 200$, d'où le total de pièces défectueuses puis, par soustraction le total de pièces non défectueuses. Ensuite, $0, 96 \times 9\, 800 = 9\, 408 $ et $0, 98 \times 200 = 196$, d'où les nombres en gras dans le tableau ci-dessous. Les nombres manquant s'en déduisent aisément par soustraction. $$\vcenter {\offinterlineskip \halign { % preamble \tv #&& \quad \hfil #\quad \hfil & #\tv \cr \omit && \omit & \omit \hrulefill & \omit & \omit \hrulefill & \omit & \omit \hrulefill & \omit \cr \omit &&& $\matrix { \hbox {\tvi Nombre de}\cr \hbox {pièces}\cr \hbox {défectueuses}\cr }$ && $\matrix { \hbox {\tvi Nombre de}\cr \hbox {pièces non}\cr \hbox {défectueuses}\cr }$ && Total& \cr \noalign {\hrule } &$\matrix { \hbox {\tvi Nombre de}\cr \hbox {pièces acceptées}\cr \hbox {\tvi height 0pt après le contrôle}\cr }$ && $4$&& $\bf 9\, 408$&& $9\, 412$& \cr \noalign {\hrule } &$\matrix { \hbox {\tvi Nombre de}\cr \hbox {pièces refusées}\cr \hbox {\tvi height 0pt après le contrôle}\cr }$ && $\bf 196$&& $392$&& $588$& \cr \noalign {\hrule } &Total && {\bf 200}&& $9\, 800$&& $10\, 000$& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum On choisit une pièce au hasard sur les $10\, 000$, chacune de ces pièces ayant la même probabilité de sortie. On a évidemment $4$~cas favorables pour $E_1$, $392$~cas favorables pour $E_2$, et $4+392=396$~cas favorables pour $E_3$. D'où les probabilités~: $$ \dresultat {p (E_1) = {4\over 10\, 000} \approx 0, 04\%} \qquad \dresultat {p (E_2) = {392\over 10\, 000} \approx 3, 92\%} \qquad \dresultat {p (E_3) = {396\over 10\, 000} \approx 3, 96\%} $$ \itemnum Enfin, si on choisit au hasard une pièce parmi les refusées, on a $588$~issues possibles. Parmi celles-ci, il y en a $392$ qui correspondent à des pièces non défectueuses. En notant $E_4$ l'événement \og {\sl La pièce est bonne sachant qu'elle a été refusée}\fg , on a $$ \dresultat {p (E_4) = {392\over 588} = {2\over 3}\approx 0, 66\%} $$ \fincorrige