exo_002.tex

\exo{Arbre et durée de mise au point}
 
Dans une usine, la mise au point d'un matériel électronique nécessite
l'exécution de trois tâches consécutives, notées $A$, $B$ et $C$. Un
gestionnaire de l'entreprise a relevé sur une longue période les
durées nécessaires pour effectuer chacune des trois tâches.
 
Pour $A$, une heure ou deux heures; pour $B$, quatre heures, cinq
heures ou six heures; pour $C$, deux ou trois heures.
 
On admet que, pour chacune des tâches $A$, $B$, $C$, la durée
d'exécution ne peut pas prendre à l'avenir d'autres valeurs que celles
qui ont été données ci-dessus.
 
Dans ce qui suit, on appelle \og mise au point\fg\ un triplet $(a, b,
c)$ de trois nombres donnant dans l'ordre (tâche $A$, tâche $B$, tâche
$C$) les durées d'exécution des trois tâches.
 
\itemnum \`A l'aide d'un arbre, donner toutes les \og mise au
point\fg\ possibles.
 
\itemnum Chaque \og mise au point\fg\ définit un événement
élémentaire. L'observation sur une longue période conduit à admettre
que tous les événements élémentaires sont équiprobables.
 
\item{} Déterminer la probabilité des événements suivants~:
 
\itemitemalph $E_1$~: \og La mise au point dure huit heures\fg~;
 
\itemitemalph $E_2$~: \og La mise au point dure au plus neuf heures\fg~;
 
\itemitemalph $E_3$~: \og La mise au point dure strictement plus de
neuf heures\fg.
 
\finexo
 
\corrige {}
 
\catcode`\|=12
 
\input $HOME/tex_doc/format/pstricks/pstricks.tex
%% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-eps.tex
%% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-node.tex
\input $HOME/tex_doc/format/pstricks/pst-tree.tex
 
\itemnum 
$$
\pspicture(0,-4)(1,4)
\pstree
[treemode=R,    %% mode horizontal
levelsep=25mm,  %% longueur d'une branche
treesep=1mm     %% espace internoeud
]
{\Tc*{1mm}}
{
   \pstree
   {\Tcircle{$1$}}
   {
      \pstree
      {\Tcircle{$4$}}
      {
   	 \pstree {\Tcircle{$2$}}{\pstree{\Tr{$(1,4,2)$}}{\Tr{$7$}}}
   	 \pstree {\Tcircle{$3$}}{\pstree{\Tr{$(1,4,3)$}}{\Tr{$8$}}}
      }
      \pstree
      {\Tcircle{$5$}}
      {
   	 \pstree {\Tcircle{$2$}}{\pstree{\Tr{$(1,5,2)$}}{\Tr{$8$}}}
   	 \pstree {\Tcircle{$3$}}{\pstree{\Tr{$(1,5,3)$}}{\Tr{$9$}}}
      }
      \pstree
      {\Tcircle{$6$}}
      {
   	 \pstree {\Tcircle{$2$}}{\pstree{\Tr{$(1,6,2)$}}{\Tr{$9$}}}
   	 \pstree {\Tcircle{$3$}}{\pstree{\Tr{$(1,6,3)$}}{\Tr{$10$}}}
      }
   }
   \pstree
   {\Tcircle{$2$}}
   {
      \pstree
      {\Tcircle{$4$}}
      {
   	 \pstree {\Tcircle{$2$}}{\pstree{\Tr{$(2,4,2)$}}{\Tr{$8$}}}
   	 \pstree {\Tcircle{$3$}}{\pstree{\Tr{$(2,4,3)$}}{\Tr{$9$}}}
      }
      \pstree
      {\Tcircle{$5$}}
      {
   	 \pstree {\Tcircle{$2$}}{\pstree{\Tr{$(2,5,2)$}}{\Tr{$9$}}}
   	 \pstree {\Tcircle{$3$}}{\pstree{\Tr{$(2,5,3)$}}{\Tr{$10$}}}
      }
      \pstree
      {\Tcircle{$6$}}
      {
   	 \pstree {\Tcircle{$2$}}{\pstree{\Tr{$(2,6,2)$}}{\Tr{$10$}}}
   	 \pstree {\Tcircle{$3$}}{\pstree{\Tr{$(2,6,3)$}}{\Tr{$11$}}}
      }
   }
}
\endpspicture
$$
 
\itemnum Chacun des événements élémentaires étant équiprobable, la
probabilité d'un événement nous est donnée par la formule
$$
   \rm probabilité = {\hbox {nombre de cas favorables}\over \hbox {nombre de cas possibles}}
$$
et il n'y a aucune difficulté à trouver, par simple comptage~:
$$
   \dresultat {p (E_1) = {3\over 12} = {1\over 4}}
      \qquad \qquad
   \dresultat {p (E_2) = {8\over 12} = {2\over 3}}
      \qquad \qquad
   \dresultat {p (E_3) = {4\over 12} = {1\over 3}}
$$
 
\fincorrige