\exo{Des plaques isolantes} Une usine fabrique des plaques isolantes pour le bâtiment. Deux défauts de fabrication seulement sont possibles~: un défaut d'épaisseur noté $e$, et un défaut de conductivité thermique noté $c$. On choisit une plaque au hasard dans la production d'une journée. On note $E$ l'événement \og {\sl la plaque présente le défaut $e$}\fg, et $C$ l'événement \og {\sl la plaque présente le défaut $c$}\fg. Une étude statistique a permis de déterminer les probabilités suivantes~: $$ p (E) = 0, 02 \qquad {\rm et} \qquad p (C) = 0, 1. $$ On admet que les événements $E$ et $C$ sont indépendants. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants~: \itemitemalph $F_1$~: \og {\sl La plaque présente les deux défauts}\fg, \itemitemalph $F_2$~: \og {\sl La plaque présente au moins un défaut (et peut-être les deux)}\fg, \itemitemalph $F_3$~: \og {\sl La plaque ne présente aucun des deux défauts}\fg, \medskip {\sl La question suivante est hors barême~:} \medskip \itemitemalph $F_4$~: \og {\sl La plaque présente un et un seul des deux défauts}\fg. \finexo \corrige{} \itemnum {\bf Avec les formules} \itemalph On a $F_1 = E \cap C$, or les deux événements $E$ et $C$ sont supposés indépendants. Donc $p (E \cap C) = p (E) \times p (C) = 0, 02 \times 0, 1$. D'où \dresultat{p (F_1) = 0, 002}. \itemalph On a $F_2 = E \cup C$, donc $p (F_2) = p (E) + p (C) - p (E\cap C) = 0, 02 + 0, 1 - 0, 02$ soit \mresultat{p (F_2) = 0, 118}. \itemalph On a $F_3 = \overline{F_2}$, donc $p (F_3) = 1 - p (F_2)$, soit \mresultat{p (F_3) = 0, 882}. \itemalph On a $F_4 = (E \cap \overline C) \cup (C \cap \overline E)$ (car un et un seul défaut signifie~: (le défaut $e$ ET pas le défaut $c$) OU (le défaut $c$ ET pas le défaut $e$)). Or, on a les résultats suivants~: \itemitem{$\bullet$} les événements $(E \cap \overline C)$ et $(C \cap \overline E)$ sont évidemment incompatibles (leur intersection est vide), \itemitem{$\bullet$} les événements $E$ et $\overline C$ sont indépendants (puisque $E$ et $C$ sont indépendants), \itemitem{$\bullet$} les événements $C$ et $\overline E$ sont indépendants (puisque $E$ et $C$ sont indépendants). \item{} Finalement, on a donc $$\eqalign{ p (F_4) &= p (E \cap \overline C) + p (C \cap \overline E) \cr &= p (E) p (\overline C) + p (C) p (\overline E \cr &= p (E) \big( 1 - p (C)\big) + p (C) \big( 1 - p (E)\big) \cr &= 0, 02 \times 0, 9 + 0, 1 \times 0, 98 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (F_4) = 0, 116} \cr }$$ \itemnum {\bf Avec un tableau ou un dessin} \item{} On commence par récapituler la situation dans un tableau. Fixons la population de $\Omega$ à $1\, 000$~individus par exemple. Le cardinal de $C$ est alors de $100$ puisque $p (C) = 0, 1$, et le cardinal de $E$ est de $20$ puisque $p (E) = 0, 02$. \item{} Reste à traduire le fait que les événements $E$ et $C$ sont indépendants. Cela signifie que la proportion d'élements de $E$ dans $C$ est la même que la proportion d'éléments de $E$ dans $\Omega$. En d'autres termes, on a $$ {\card E \over \card \Omega} = {\card (E \cap C) \over \card C} \qquad {\rm soit} \qquad {\card (E \cap C) \over \card C} = 0, 02. $$ On a donc $\card (E \cap C) = 2$, ce qui donne le tableau récapitulatif suivant~: $$\vbox{\offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & && E&& \overline E&& {\rm total}& \cr \noalign{\hrule} & C&& 2&& 98&& 100& \cr \noalign{\hrule} & \overline C&& 18&& 882&& 900& \cr \noalign{\hrule} & {\rm total}&& 20&& 980&& 1\, 000& \cr \noalign{\hrule} }}$$ \itemalph On a $F_1 = E \cap C$, donc $$ p (F_1) = {\card (E \cap C) \over \card \Omega} = {2 \over 1\, 000} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (F_1) = 0, 002}. $$ \itemalph On a $F_2 = E \cup C$, donc $$ p (F_2) = {\card (E \cup C) \over \card \Omega} = {18 + 2 + 98 \over 1\, 000} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (F_2) = 0, 118}. $$ \itemalph On a $F_3 = \overline E \cap \overline C$, donc $$ p (F_3) = {\card (\overline E \cap \overline C) \over \card \Omega} = {822 \over 1\, 000} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (F_3) = 0, 882}. $$ \itemalph On a $F_4 = (E \cap \overline C) \cup (C \cap \overline E)$, or ces deux événements sont incompatibles, donc $$ p (F_4) = {\card (E \cap \overline C) + \card (\overline E \cap C)\over \card \Omega} = {98 + 18 \over 1\, 000} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (F_4) = 0, 116}. $$ \fincorrige