\exo{\`A consommer avec modération (loi normale)} On ajoute du $SO_2$ dans un vin pour le protéger d'une part des attaques des levures et des bactéries, d'autre part de l'oxydation. Après embouteillage, on prélève des échantillons de 50~bouteillses sur la chaîne d'em\-bou\-teil\-la\-ge et on dose dans chaque bouteille la concentration en $SO_2$ libre qui sera exprimée en mg.L$^{-1}$. La production étant très importante, on assimile ce prélèvement à un prélèvement non exhaustif. Voici les résultats du dosage de $SO_2$ dans un échantillon. $$\vbox{\offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv && \cc{#}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & Concentration (en mg.L$^{-1}$)&& Nombre de bouteilles& \cr \noalign{\hrule} & $[20; 20, 2[$ && 3& \cr \noalign{\hrule} & $[20, 2; 20, 4[$&& 9& \cr \noalign{\hrule} & $[20, 4;20, 6[$&& 20& \cr \noalign{\hrule} & $[20, 6; 20, 8[$&& 13& \cr \noalign{\hrule} & $[20, 8; 21[$&& 5& \cr \noalign{\hrule} }}$$ \itemnum {\sl statistiques}~: Donner des valeurs approchées à $10^{-3}$~près de la moyenne $m$ et de l'écart-type $\sigma$ de cet échantillon. \itemnum {\sl probabilités}~: \`A chaque production obtenue après avoir rajouté du $SO_2$, on associe la concentration en $SO_2$ libre. On définit ainsi une variable aléatoire $X$. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $20, 5$~mg.L$^{-1}$ et d'écart-type $0, 2$~mg.L$^{-1}$. \item{} On estime que le vin est impropre à la consommation si la concentration en $SO_2$ libre est supérieure ou égale à $20, 9$~mg.L$^{-1}$. \item{} Sous ces hypothéses, quel est, a $1\%$ près, le pourcentage de bouteilles impropres à la consommation~? \finexo