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Source de synt_001.tex

Fichier TeX
Image JPEG
\exo {Ajustements et probabilités, {\rm Bts Mécanique et Automatismes Industriels}, {\sl 1991}}

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/}

\epsfxsize = 140mm

Une usine produit des pièces de type $A$ qui doivent s'ajuster dans
des pièces de type $B$.
$$
   \epsillustrate {synt_001.ps}
$$

\itemnum Les différentes valeurs prises par la cote $x$ permettent de
définir une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne
20, d'écart-type $0, 04$.

\itemitemalph Déterminer la probabilité pour qu'une pièce de type $A$
soit acceptable sachant que sa cote $x$ doit être comprise dans
l'intervalle $[19, 92\, ; 20, 08]$.

\itemitemalph On suppose maintenant que la proportion de pièces
défectueuses de type $A$ réalisées est $0, 05$. On prélève des
échantillons de $100$ pièces. Soit $T$ la variable aléatoire prenant
pour valeurs le nombre de pièces défectueuses d'un échantillon.

\itemitem {} $\bullet $ Quelle est la loi de probabilité de $T$~? On
admettra qu'on peut l'assimiler à une loi de Poisson dont on donnera
le paramètre.

\itemitem {} $\bullet $ Déterminer la probabilité de l'événement~:
$\Big[ T<4 \Big] $

\itemnum Les différentes valeurs prises par la cote $y$ permettent de
définir une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne
$20, 1$ et d'écart-type $0, 03$. On suppose d'autre part que les
pièces de type $A$ et $B$ peuvent s'assembler si le jeu entre les
cotes, $y-x$, est au moins égal à $0, 01$.

\item {} On rappelle que si $X$ et $Y$ sont des varables aléatoires
suivant des lois normales de moyennes $m_x$ et $m_y$, de variances
$V_x$ et $V_y$, alors $Y-X$ suit une loi normale de moyenne $m_y -
m_x$ et de variance $V_x + V_y$.

\itemitemalph Déterminer la moyenne et l'écart-type de la variable
$Y-X$.

\itemitemalph Quelle est la probabilité qu'une pièce de type $A$ prise
au hasard puisse être introduite dans une pièce de type $B$ également
prise au hasard~?

\finexo

\corrige {}

\itemnum Si $X$ suit la loi normale ${\cal N} (20; 0, 04)$, alors la
variable $V$ définie par $V = (X-20) / 0, 04$ suit la loi normale
centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$.

\itemalph Une pièce est acceptable si sa cote $x$ vérifie $19, 92 \leq
x \leq 20, 08$. D'où
$$\eqalign {
   p ({\rm acceptable}) = p (19, 92 \leq X \leq 20, 08)
      &= p \left( {19, 92 - 20 \over 0, 04} \leq {X-20 \over 0, 04}
\leq {20, 08 - 20 \over 0, 04} \right)
\cr
   &= p (-2 \leq V \leq 2) = 2 \Pi (2) - 1
\cr
   &= 2 \times 0, 977\, 2 - 1
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat { p ({\rm acceptable}) = 0, 954\, 4}
\cr
}$$

\itemalph On assimile le prélèvement de 100 pièces à un tirage
aléatoire avec remise répété 100~fois. Les expériences sont alors
indépendantes, et il n'y a que deux issues observées~: défectueuse ou
non, la probabilité d'une issue défectueuse étant de $0, 05$. 

\item {} On est
dans le cadre d'un schéma de Bernouilli et la variable $T$ suit
\tresultat {la loi binômiale ${\cal B} (100; 0, 05)$}. On assimile
alors cette loi à une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 100
\times 0, 05$, soit \mresultat {\lambda = 5}. Dans ce cas, il vient
$$\eqalign {
   P (T < 4) &= p (T=0) + p (T=1) + p (T=2) + p (T=3)
\cr
   &= 0, 007 + 0, 034 + 0, 084 + 0, 140
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat { p (T<4) = 0, 265}
\cr       
}$$

\itemnum La variable $Y$ suit la loi normale ${\cal N} (20, 1; 0,
03)$. Soit $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = Y-X$, alors $Z$
   suit une loi normale.

\itemalph La moyenne de cette loi est $m_z = m_y - m_x = 20, 1 - 20$, soit
   \mresultat {m_z = 0, 1}. De plus sa variance est $V_z = V_y + V_x =
   (0, 04)^2 + (0, 03)^2$. Son écart-type est donc $\sigma (Z) = \sqrt
   {(0, 04)^2 + (0, 03)^2}$, soit \dresultat {\sigma (Z) = 0, 05}.

\itemalph Si $Z$ suit la loi normale ${\cal N} (0, 1; 0, 05)$, alors la
variable $W$ définie par $W = (Z-0, 1) / 0, 05$ suit la loi normale
centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. La probabilité que l'on puisse
assembler deux pièces $A$ et $B$ prises au hasard est égale à la
probabilité que la variable $Z$ soit supérieure à $0, 01$. D'où le
calcul
$$\eqalign {
   p (Z \geq 0, 01) &= p \left( {Z - 0, 1 \over 0, 05} \geq {0, 01 -
0, 1 \over 0, 05} \right) = p (W \geq -1, 8)
\cr
   &= p (W \leq 1, 8) \qquad \hbox {vu la parité de la courbe de la
loi ${\cal N} (0, 1)$}
\cr
   &= \Pi (1, 8) 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (Z \geq 0, 01) = 0, 964\, 1}
\cr
}$$

\fincorrige