\exo {Loi normale, loi binômiale, approximation par une loi de Poisson} Une machine fabrique des cylindres en bois. \itemnum On admet que la variable aléatoire $X$ qui, à toute pièce choisie au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur suit la loi normale de moyenne $m=100\cm $ et d'écart type $\sigma = 0, 16\cm $. \itemitemalph Déterminer la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle $[99, 7\, ; 100, 3]$. (On donnera la réponse au centième près.) \itemitemalph Déterminer, au centième près, la probabilité que $X$ n'appartienne pas à l'intervalle $[99, 7\, ; 100, 3]$. \itemitemalph Déterminer le réel positif $a$ tel que la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle $[100 - a, 100+a]$ soit égale à $0, 8$. \itemnum On considère désormais que la probabilité qu'un cylindre choisi au hasard dans la production soit défectueux est $0, 06$. \item {} On prélève au hasard un échantillon de $50$~cylindres. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $50$~cylindres. Soit $Y$ la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de $50$~cylindres le nombre de cylindres défectueux de cet échantillon. \itemitemalph Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binômiale. On donnera les paramètres de cette loi. \itemitemalph Déterminer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un échantillon de $50$~cylindres ne contienne aucun cylindre défectueux. \itemitemalph Déterminer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un échantillon de $50$~cylindres contienne au moins $2$ cylindres défectueux. \itemitemalph On approche la loi binômiale du {\sl a\/}) par une loi de Poisson. Préciser le paramètre de cette loi. En utilisant cette loi de Poisson, déterminer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de l'événement du {\sl b\/}). \finexo \corrige {} \itemnum La variable $X$ suit la loi normale ${\cal N} (100\, ; 0, 16)$, donc la variable $T = (X-100)/0, 16$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1).$ \itemalph On a $$\eqalign { p (99, 7 \leq X \leq 100, 3) &= p \left( {99, 7 - 100\over 0, 16}\leq {X-100\over 0, 16} \leq {100, 3 - 100\over 0, 16} \right) \cr &= p (1, 875 \leq T \leq -1, 875) \cr &= \Pi (1, 875) - \Pi (-1, 875) = 2 \Pi (1, 875) - 1 \cr & \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (99, 7 \leq X \leq 100, 3) \approx 0, 939} }$$ \itemalph On a l'événement contraire du précédent, d'où $p = 1 - 0, 939$, soit \dresultat {p = 0, 061} \itemalph Il vient $$\eqalign { p (100 - a \leq X \leq 100 + a) &= p \left( {100 - a - 100\over 0, 16}\leq {X-100\over 0, 16} \leq {100 + a - 100\over 0, 16} \right) \cr &= p \left( -{a\over 0, 16} \leq T \leq {a\over 0, 16} \right) \cr &= 2 \Pi \left( {a\over 0, 16} \right) - 1 = 0, 8 \qquad {\rm soit} \qquad \Pi \left( {a\over 0, 16} \right) = {1, 8\over 2} = 0, 9 }$$ Dans la table, on lit $a/0, 16 \approx 1, 29$, d'où $a \approx 1, 29 \times 0, 16$, soit \dresultat {a \approx 0, 206}. \itemalphnum Considérons l'épreuve qui consiste à choisir au hasard un cylindre dans la production. Cette épreuve a {\bf deux issues possibles}~: cylindre défectueux (probabilité de $0, 06$) ou non. Le prélèvement d'un échantillon revient à effectuer 50 fois de suite, et {\bf de manière indépendante}, cette épreuve. La variable $Y$ comptant le nombre de fois où le cylindre pioché a été défectueux. Alors $Y$ suit \tresultat {la loi binomiale ${\cal B} (50\, ; 0, 06)$}. \itemalph On a $$ p (Y = 0) = C_{50}^0 \times (0, 06)^0 \times (0, 94)^{50} = (0, 94)^{50} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Y = 0) \approx 0, 045\, 3} $$ \itemalph Il vient $$\eqalign { p (Y \geq 2) &= 1 - p (Y < 2) \cr &= 1 - (p (Y = 0) + p (Y = 1)) \cr &= 1 - \left( (0,94)^{50} + C_{50}^1 \times (0, 06)^1 \times (0, 94)^{49} \right) \cr &\approx 1 - \left( (0,94)^{50} + 0, 144\, 7 \right) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Y \geq 2) \approx 0, 810\,0} }$$ \itemalph Lorsque l'on approxime une loi binomiale par une loi de Poisson, on prend une loi de même espérance. L'espérance de la loi binomiale étant $np = 50\times 0, 06$, le paramètre de la loi de Poisson est \dresultat {\lambda = 3}. Avec cette approximation, on trouve $$ p (Y = 0) = {e^{-3} \times 3^0\over 0!} = e^{-3} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Y = 0) \approx 0, 049\, 8} $$ (on ne peut lire directement dans le formulaire puisque celui-ci n'est qu'à $10^{-3}$ près). \fincorrige