\exo {Pièces métalliques et contrôle de qualité, {\rm bts mai}, {\sl juin 2001}} \let \partie \centerpartie {\bf Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires dons les cotés sont exprimés en millimètres. Un contrôle de qualité consiste à à vérifier que la longueur et la largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur. {\bf Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à $\bf 10^{-3}$.} \partie {A} On note $E$ l'événement~: \og \sl Une pièce prélevée au hasard dans le stock de l'entreprise est conforme\fg . On suppose que la probabilité de l'événement $E$ est $0, 9$. On prélève au hasard $10$~pièces dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $10$~pièces. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $10$~pièces, associe le nombre de pièces conformes parmi ces $10$~pièces. \itemnum Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \itemnum Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, $8$~pièces au moins soient conformes. \partie {B} Une partie des pièces de la production de l'entreprise est fabriquée par une machine automatique notée \og machine~$1$\fg . Soient $M$ et $N$ les variables aléatoires qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans un lot très important fabriqué par la machine~$1$, associent respectivement sa longueur et sa largeur. On suppose que $M$ suit la loi normale de moyenne $m_1 = 250$ et d'écart-type $\sigma _1 = 1, 94$. On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne $m_2 = 150$ et d'écart-type $\sigma _2 = 1, 52$. \itemnum Calculer la probabilité pour que la longueur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre $246$ et $254$. \itemnum Calculer la probabilité pour que la largeur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre $147$ et $153$. \itemnum Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre $246$ et $254$ et si sa largeur est comprise entre $147$ et $153$. \item {} On admet que les variables $M$ et $N$ sont indépendantes. \item {} Montrer que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit conforme est $0, 914$. \partie {C} Une autre machine automatique de l'entreprise, notée \og machine~$2$\fg \ fabrique également ces mêmes pièces en grande quantité. On suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée de la machine~$1$ soit conforme est $p_1 = 0, 914$ et que la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production d'une journée de la machine~$2$ est $p_2 = 0, 879$. La machine~$1$ fournit $60\% $ de la production totale des ces pièces et la machine~$2$ le reste de cette production. On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de l'entreprise de la journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être tirées. On définit les événements suivants~: \item {} $A$~: \og \sl la pièce provient de la machine $1$\fg ~; \item {} $B$~: \og \sl la pièce provient de la machine $2$\fg ~; \item {} $C$~: \og \sl la pièce est conforme\fg . \itemnum Déterminer les probabilités $p (A)$, $p (B)$, $p (C\vert _A)$, $p (C\vert _B)$. \item {} (On rappelle que $p (C\vert _A)$ est la probabilité de l'événement $C$ sachant que l'événement $A$ est réalisé.) \itemnum En déduire $p (C\cap A)$ et $p (C\cap B)$. \itemnum En admettant que $C = (C\cap A) \cup (C\cap B)$, calculer $p (C)$. \finexo \corrige {} \let \partie \llappartie \partie {A} \vskip -5mm \itemnum Dans l'expérience considérée, les 10~tirages sont {\bf indépendants}. De plus, l'expérience ne comporte que {\bf 2~issues possibles} (conforme~: $p=0,9$, ou non~: $q=0,1$ ). La variable $X$ {\bf compte les conformes}. On en conclu que \tresultat {$X$ suit la loi ${\cal B} (10 ; 0, 9)$}. \itemnum Il vient alors $$\eqalign { p (X\geq 8) &= p (X=8) + p (X=9) + p (X=10) \cr &= C_{10}^8 (0, 9)^8 (0, 1)^2 +C_{10}^9 (0, 9)^9 (0, 1) + C_{10}^{10} (0, 9)^{10} \cr &\approx 0, 194 + 0, 387 + 0, 349 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X\geq 8) \approx 0, 930} \cr }$$ Le calcul des $C_n^p$ ayant donné $$ C_{10}^8 = {10 \times 9 \times \cdots \times 4 \times 3\over 8 \times 7 \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1} = {10 \times 9\over 2} = 45 \qquad C_{10}^9 = {10 \times 9 \times \cdots \times 3 \times 2\over 9 \times 8 \times \cdots \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 $$ \partie {B} \vskip -5mm \itemnum Si $M$ suit la loi normale ${\cal N} (250 ; 1, 94)$, alors la variable $T_1$ définie par \smash {$\displaystyle T_1 = {M-250 \over 1, 94} $} suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0 ; 1)$. Il vient donc $$\eqalign { p (246\leq M\leq 254) &= p \left( {246- 250\over 1, 94}\leq {M-250\over 1, 94}\leq {250-254\over 1, 94}\right) \cr &= p \left( {-4\over 1, 94}\leq T_1 \leq {4\over 1, 94}\right) = 2\Pi \left( {4\over 1, 94}\right) - 1 \cr &\approx 2\Pi \left( 1, 062\right) - 1 \approx 0, 960\, 6 \quad {\rm d'où} \quad \dresultat {p (246\leq M\leq 254) \approx 0, 961} \cr }$$ \itemnum Si $N$ suit la loi normale ${\cal N} (150 ; 1, 52)$, alors la variable $T_2$ définie par \smash {$\displaystyle T_2 = {N-150 \over 1, 52} $} suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0 ; 1)$. Il vient donc $$\eqalign { p (147\leq N\leq 153) &= p \left( {147- 150\over 1, 52}\leq {N-150\over 1, 52}\leq {153-254\over 1, 52}\right) \cr &= p \left( {-3\over 1, 52}\leq T_2 \leq {3\over 1, 52}\right) = 2\Pi \left( {3\over 1, 52}\right) - 1 \cr &\approx 2\Pi \left( 1, 974\right) - 1 \approx 0, 951\, 2 \quad {\rm d'où} \quad \dresultat {p (147\leq N\leq 253) \approx 0, 951} \cr }$$ \itemnum Désignons respectivement par $E_1$ et $E_2$ les événements~: \itemitem {} $E_1$~: \og \sl la longueur est comprise entre $246$ et $254$\fg ~; \itemitem {} $E_2$~: \og \sl la largeur est comprise entre $147$ et $153$\fg . \item {} Les variables $M$ et $N$ étant indépendantes, les événements $E_1$ et $E_2$ le sont également. On en déduit donc la probabilité cherchée~: $$ p (E_1 \cap E_2) = p (E_1) \times p (E_2) = 0, 961 \times 0, 951 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (E_1 \cap E_2) \approx 0, 914}. $$ \partie {C} \vskip -5mm \itemnum \' Etant donné que $B = \overline A$, la lecture directe des hypothèses donne immédiatement $$ \dresultat {p (A) = 0, 6} \qquad \dresultat {p (B) = 0, 4} \qquad \dresultat {p (C\vert _A) = 0, 914} \qquad \dresultat {p (C\vert _B) = 0, 879} $$ \itemnum {\bf Méthode 1~:} On remplit un tableau rapporté à $10\, 000$ individus~: $$\vcenter {\hsize .3\hsize \offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & && A&& \overline A = B&& {\rm total}& \cr \noalign{\hrule} & C&& \bf 5\, 484&& \bf 3\, 516&& 9\, 000& \cr \noalign{\hrule} & \overline C&& 516&& 484&& 1\, 000& \cr \noalign{\hrule} & {\rm total}&& \bf 6\, 000&& \bf 4\, 000&& 10\, 000& \cr \noalign{\hrule} }} \qquad {\rm où} \qquad \vcenter {\hsize .3\hsize $0, 914 \times 6\, 000 = 5\, 484$ $0, 879 \times 4\, 000 = 3\, 516$ } $$ Il vient alors $$ \dresultat {p (C \cap A) = {5\, 484\over 10\, 000} \approx 0, 548} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {p (C \cap B) = {3\, 516\over 10\, 000} \approx 0, 352} $$ \item {} {\bf Méthode 2~:} avec les formules\dots $$ p (C\cap A) = p (A) \times p (C\vert A) = 0, 6 \times 0, 914 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (C \cap A) \approx 0, 548} $$ et, de la même façon, $$ p (C\cap B) = p (B) \times p (C\vert B) = 0, 4 \times 0, 879 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (C \cap B) \approx 0, 352} $$ \itemnum {\bf Méthode 1~:} On a immédiatement \dresultat {p (C) = {9\, 000\over 10\, 000} = 0, 9}. \item {} {\bf Méthode 2~:} avec les formules\dots On admet que $C = (C\cap A) \cup (C\cap B)$. En remarquant que les ensembles $C\cap A$ et $C\cap B$ sont disjoints puisque $A\cap B = \emptyset $, il vient $$ p (C) = p (C\cap A) + p (C\cap B) = 0, 548 + 0, 352 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (C) = 0, 9}. $$ \fincorrige