\exo {Coupes de plaques d'acier, \sl bts mai, session 1994} Dans un atelier, une machine $A$ permet de couper des plaques d'acier dont la longueur permet de définir une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne $M = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$ (les longueurs étant exprimées en $\cm $). \itemitemalphnum Quelle est, à $10^{-2}$ près par défaut, la probabilité qu'une plaque ait une longueur extérieure à l'intervalle $[98; 102]$~? \itemitemalph Trouver une valeur approchée à $10^{-2}$ près du nombre $a$ tel que $90\% $ des plaques aient une longueur dans l'intervalle $[100 - a; 100 + a]$. \itemnum On supppose maintenant que $3\% $ des plaques coupées par la machine $A$ sont rejetées parce que leur longueur ne convient pas. Dans un lot contenant un grand nombre de plaques, on en prélève $N$. $X$ est la variable aléatoire qui, à cette épreuve, associe le nombre de plaques dont la longueur est incorrecte. \itemitemalph Quelle est la loi suivie par $X$~? \itemitemalph On suppose $N = 5$. Calculer $p (X = 2)$. \itemitemalph On suppose $N = 100$. Quel est le paramètre de la loi de Poisson par laquelle on peut approcher la loi de $X$~? \itemitem {} Donner alors une valeur approchée à $10 ^{-2}$ près de $p (X = 8)$, de $p (X > 2)$. \itemnum La machine $A$ coupe $500$ plaques par jour, dont $3\% $ sont rejetées. On lui adjoint une machine $B$, et $9\% $ des plaques coupées par cette machine $B$ sont rejetées. \itemitemalph La machine $B$ coupe $1\, 000$ plaques par jour. \itemitem {} Quelle est alors la probabilité pour qu'une plaque coupée dans l'atelier soit rejetée~? \itemitemalph On veut que la probabilité de rejet d'une plaque reste inférieure à $0, 05$. Quel nombre maximum de plaques peut-on couper avec la machine $B$, sachant que $A$ coupe $500$ plaques par jour~? \finexo \corrige \itemnum La variable $L$ suit la loi normale ${\cal N} (100; 1)$, donc la variable $\displaystyle {T = L-100}$ syut la loi normale centrée résuite ${\cal N} (0; 1)$. \itemalph Il vient $$ \eqalign { p (98\leq L \leq 102) &= p (98-100 \leq L-100 \leq 102-100) \cr &= p (-2 \leq T \leq 2) = 2\Pi (2) - 1 \cr &= 2\times 0, 977\, 2 - 1 = 0, 954\, 4 } $$ d'où $p \big( L \not \in [98; 102] \big) = 1 - 0, 954\, 4$, soit \dresultat {p \big( L \not \in [98; 102] \big) = 0, 045\, 6}. \itemalph Il vient $$ \eqalign { p (100-a \leq L \leq 100+a) = 0, 9 \quad &\Longleftrightarrow \quad p (100-a-100 \leq L-100 \leq 100+a-100) = 0,9 \cr &\Longleftrightarrow \quad p (-a \leq T \leq a) = 0,9 \quad \Longleftrightarrow \quad 2\Pi (a) - 1 = 0,9 \cr &\Longleftrightarrow \quad \Pi (a) = 0,95 \cr {\rm d'où} \qquad \dresultat {a = 1, 65} \qquad &{\rm et}\qquad \dresultat {p (98, 35\leq L\leq 101, 65) = 0, 9} } $$ \itemalphnum On considère l'épreuve qui consiste à piocher une plaque au hasard et à regarder si sa longueur convient ($p = 0, 97$) ou non ($p=0, 03$). Cette épreuve n'a que {\bf 2 issues possibles}, et on considère que les {\bf $N$ épreuves successives sont indépendantes}. La variable $X$ compte le nombre de plaques de longueur incorrecte. Donc \tresultat {$X$ suit une loi binomiale ${\cal B} (N; 0,03 )$} \itemalph $N = 5$, donc $X$ suit une loi binomiale ${\cal B} (5; 0,03 )$, d'où $$ p (X= 2) = C_5^2 \times 0, 03^2 \times 0, 97^3, \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X=2) = 0, 008} $$ \itemalph $N = 100$, donc $X$ suit une loi binomiale ${\cal B} (100; 0,03)$, et l'espérance mathématique de cette variable est $E (X) = 100 \times 0, 03 = 3$. On peut donc approcher la loi binomiale par une \tresultat {loi de Poisson de paramètre $3$}. Il vient alors, par lecture de la table, \dresultat {p (X = 8) = 0, 008} et $$\displaylines { p (X>2) = 1 - \big( p (x= 0) + p (X=1) + p (X=2)\big) = 1 - (0, 050+0, 149+0, 224) \cr {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X>2) = 0, 577} } $$ \itemalphnum On récapitule la situation pour une journée dans un tableau en notant $A$ l'événement \og \sl provient de la machine $A$\fg , et $C$ l'événement \og \sl est de longueur non conforme\fg . Comme $0, 03 \times 500 = 15$ et $0, 09 \times 1\, 000 = 90$, on obtient le tableau suivant~: $$ \vcenter{\halign{ \offinterlineskip % preamble #\tv && \cc{#}& #\tv \cr \noalign{\hrule} &&& $A$&& $\overline{A}$&& Total& \cr \noalign{\hrule} & $C$&& $485$&& $910$&& $1\, 395$& \cr \noalign{\hrule} & $\overline{C}$&& $\bf 15$&& $\bf 90$&& $105$& \cr \noalign{\hrule} & Total&& $\bf 500$&& $\bf 1\, 000$&& $1\, 500$& \cr \noalign{\hrule} }} $$ Il est alors clair que $\displaystyle {p \big(\overline C\big) = {105\over 1\, 500}}$, soit \dresultat {p \big(\overline C\big) = 0, 07}. \itemalph On refait un tableau avec les nouvelles données, en nommant $n$ le nombres de plaques coupées par la machine $B$~: $$ \vcenter{\halign{ \offinterlineskip % preamble #\tv && \cc{#}& #\tv \cr \noalign{\hrule} &&& $A$&& $\overline{A}$&& Total& \cr \noalign{\hrule} & $C$&& $485$&& $0, 91n$&& $485 + 0, 91n$& \cr \noalign{\hrule} & $\overline{C}$&& $\bf 15$&& $\bf 0, 09\times n$&& $15 + 0, 09n$& \cr \noalign{\hrule} & Total&& $\bf 500$&& $\bf n$&& $500 + n$& \cr \noalign{\hrule} }} $$ En reprenant le calcul comme à la question précédente, il vient $$ \eqalign { p \big(\overline C\big) \leq 0, 05 \quad &\Longleftrightarrow \quad {15 + 0, 09n \over 500 + n} \leq 0, 05 \cr &\Longleftrightarrow \quad 15 + 0, 09n \leq 0, 05 (500 + n) \cr &\Longleftrightarrow \quad 15 + 0, 09n \leq 25 + 0, 05n \quad\Longleftrightarrow \quad 0, 04n \leq 10 \quad\Longleftrightarrow \quad \dresultat {n \leq 250} \cr } $$ \fincorrige