\exo {Granulométrie, {\sl bts mai, session 1992}} \let \partie \centerpartie Le but de cet exercice est d'étudier une méthode de granulométrie fréquemment utilisée dans l'industrie sucrière pour calibrer le sucre blanc en foncion de la taille de ses cristaux. \partie {A} Pour effectuer un calibrage il faut que le sucre soit bien sec, or dans $5\% $ des cas celui-ci est trop humide et l'opération ne peut être effectuée. On fait dix calibrages successifs. \itemalph Quelle est la probabilité pour que tous les calibrages puissent être effectués~? \itemalph Quelle est la probabilité pour que deux calibrages au plus ne puissent être faits à cause de l'humidité du sucre~? \partie {B} Le sucre est bien sec. Le calibrage consiste alors à faire passer le sucre au travers d'une série de tamis emboîtés les uns sur les autres et posés sur un fond. \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/} $$ \epsillustrate {synt_007.ps} $$ On admettra que la variable aléatoire $X$ prenant pour valeur la taille des cristaux de sucre suit une loi normale ${\cal N} (m, \sigma )$. Dans le cadre de cet exercice on supposera qu'on dispose de $3$ tamis dont voici les ouvertures de mailles en mm~: \settabs 20 \columns \+ &&&&&Tamis n$°1$~:&& ouverture $0, 8\mm $; \cr \+ &&&&&Tamis n$°2$~:&& ouverture $0, 5\mm $; \cr \+ &&&&&Tamis n$°3$~:&& ouverture $0, 2\mm $. \cr Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à $0, 2\mm $ se retrouvent dans le fond à la fin du calibrage. \itemnum Compléter le tableau suivant~: $$\vcenter {\offinterlineskip \halign { %% preamble #\tv &&\cc {#}& #\tv \cr \noalign {\hrule } &Niveau de récupération&& Taille des cristaux de sucre récupérés& \cr \noalign {\hrule } &Tamis n$°1$&& $0, 8\leq X$& \cr \noalign {\hrule } &Tamis n$°2$&& $\dots \leq X < \dots $& \cr \noalign {\hrule } &Tamis n$°3$&& $\dots \leq X < \dots $& \cr \noalign {\hrule } &Fond&& $X < 0, 2 $& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum On verse $1\, 800\g $ de sucre dont la taille des cristaux $X$ suit la loi normale de moyenne $m = 0, 58\mm $ et d'écart-type $\sigma = 0, 2\mm $. \itemitemalph Calculer la probabilité de l'événement~: $[X < 0, 2]$ et la probabilité de l'événement $[0, 5 \leq X < 0, 8]$. \itemitemalph Estimer la masse de sucre récupéré d'une part dans le fond et d'autre part dans le tamis n$°2$. \itemnum On constate maintenant que $m = 0, 65\mm $ etque $40\% $ de la quantité de sucre initialement versé se retrouve dans le tamis n$°2$. Quelle est alors la valeurs de l'écart-type $\sigma $ de la variable aléatoire $X$~? \finexo