\exo{Une situation de référence~: Tirages dans une urne} Dans tout cet exercice, les résultats seront exprimés sous forme de fraction irréductible. \medskip Une urne contient 12 boules blanches et 8 boules rouges. On effectue des tirages dans cette urne, chacune des 20 boules ayant la même probabilité d'être tirée. \itemnum {\bf Tirages successifs avec remise~:} On tire successivement 3~boules, la boule tirée étant remise dans l'urne après chaque tirage. Quelle est la probabilité d'obtenir~: \itemitemalph 2 boules blanches et une boule rouge, dans cet ordre~? \itemitemalph 2 boules blanches et une boule rouge dans un ordre quelconque~? \itemitemalph au moins une rouge? \itemnum {\bf Tirages successifs sans remise~:} Reprendre les questions précédentes, mais en supposant cette fois que l'on tire successivement 3~boules, la boule tirée n'étant pas remise dans l'urne après chaque tirage. \itemnum {\bf Tirages simultanés~:} On tire simultanément 3~boules. Quelle est la probabilité d'obtenir~: \itemitemalph 2~boules blanches et une boule rouge~? \itemitemalph au moins une rouge~? \finexo \corrige{} \itemnum Il y a $20^3 = 8000$ tirages possibles (il faut $20^3$ papiers pour simuler cette expérience par {\sl un seul\/} tirage dans une urne). \itemitemalph Il y a $12^2 \times 8 = 1152$ cas favorables $\displaystyle \Rightarrow p = {1152 \over 8000} = {18 \over 125}$. \itemitemalph Il y a $C_3^1 = 3$ façons de placer un rouge dans 3~places, et donc $3 \times 12^2 \times 8$ cas favorables $\displaystyle \Rightarrow p = {54 \over 125}$. \itemitemalph Les seuls cas défavorables sont ceux où l'on ne tire que des boules blanches, soit $12^3$ cas défavorables $\displaystyle \Rightarrow p = 1 - {12^3 \over 20^3} = 1 - {27 \over 125} = {98 \over 125}$. \itemnum Il y a $A_{20}^3 = 6840$ tirages possibles. (il faut $A_{20}^3$ papiers pour simuler cette expérience par {\sl un seul\/} tirage dans une urne). \itemitemalph Il y a $12 \times 11 \times 8 \, (= A_{12}^2 \times A_8^1) = 1056$ cas favorables $\displaystyle \Rightarrow p = {1056 \over 6840} = {44 \over 285}$. \itemitemalph Il y a $C_3^1 = 3$ façons de placer un rouge dans 3~places, et donc $3 \times 1056$ cas favorables $\displaystyle \Rightarrow p = {44 \over 95}$. \itemitemalph Les seuls cas défavorables sont ceux où l'on ne tire que des boules blanches, soit $12 \times 11 \times 10 = A_{12}^3 = 1320$ cas défavorables $\displaystyle \Rightarrow p = 1 - {1320 \over 6840} = 1 - {11 \over 57} = {46 \over 57}$. \itemnum {\noindent {\bf première méthode~:}} On ne tient pas compte de l'ordre et il y a $C_{20}^3 = 1140$ tirages possibles. \itemitemalph Il y a $C_{12}^2 \times C_8^1 = 528$ cas favorables $\displaystyle \Rightarrow p = {528 \over 1140} = {44 \over 95}$. \itemitemalph Il y a $C_{12}^1 \times C_8^2 = 336$ cas favorables $\displaystyle \Rightarrow p = {336 \over 1140} = {28 \over 95}$. \itemitemalph Les seuls cas défavorables sont ceux où l'on ne tire que des boules blanches, soit $C_{12}^3 = 220$ cas défavorables $\displaystyle \Rightarrow p = 1 - {220 \over 1140} = 1 - {11 \over 57} = {46 \over 57}$. \itemitemalph Les seuls cas défavorables sont ceux où l'on ne tire que des boules rouges, soit $C_8^3 = 56$ cas défavorables $\displaystyle \Rightarrow p = 1 - {56 \over 1140} = 1 - {14 \over 285} = {271 \over 285}$. \item{} {\bf deuxième méthode~:} \initnum On tient compte de l'ordre et il y a $A_{20}^3 = 6840$ tirages possibles. \itemitemalph Il y a $C_3^1 \times A_{12}^2 \times A_8^1 = 3168$ cas favorables $\displaystyle \Rightarrow p = {3168 \over 6840} = {44 \over 95}$. \itemitemalph Il y a $C_3^1 \times A_{12}^1 \times A_8^2 = 2016$ cas favorables $\displaystyle \Rightarrow p = {2016 \over 6840} = {28 \over 95}$. \itemitemalph Les seuls cas défavorables sont ceux où l'on ne tire que des boules rouges, soit $A_8^3 = 1320$ cas défavorables $\displaystyle \Rightarrow p = 1 - {1320 \over 6840} = 1 - {11 \over 57} = {46 \over 57}$. \fincorrige