\exo{La loterie} Une partie de loterie consiste à lâcher une bille dans un appareil qui comporte six portes de sortie, numérotées de 1 à 6. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque partie associe le numéro de la porte de sortie franchie. Sa loi de probabilité est définie par le tableau suivant~: $$\vcenter{\offinterlineskip\halign{ % preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & i&& 1&& 2&& 3&& 4&& 5&& 6& \cr \noalign{\hrule} & P (X=x_i)&& 1/32&& 5/32&& 10/32&& 10/32&& 5/32&& 1/32& \cr \noalign{\hrule} }}$$ La règle du jeu est la suivante~: un joueur mise 2~francs; il reçoit 12~francs si la bille franchit les portes 1 ou 6, 2~francs si elle franchit les portes 3 ou 4. Les portes 2 et 5 ne rapportent rien. Le \og gain\fg\ d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit à l'issue de la partie et sa mise. Le gain peut donc être éventuellement un nombre négatif ou nul. Soit $Y$ la variable aléatoire qui à chaque partie effectuée par un joueur donné associe le gain. \itemnum Quelles sont les valeurs possibles de $Y$~? \itemnum Déterminer la loi de probabilité de $Y$. \itemnum Un jeu est équitable si l'espérance de gain est nulle. Ce jeu est-il équitable~? \finexo