\paragraphe{Fonction exponentielle} \everymath = {\displaystyle } Vous savez déjà que la fonction exponentielle $f : t \mapsto e^t$ est dérivable, en particulier en $t = 0$, et que $f' (0) = 1$. En utilisant la définition du nombre dérivé, cela peut s'écrire $$ \hbox{au voisinage de $t=0$, on a } \qquad \dresultat {e^t = 1 + t + t \varepsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0}. $$ (En fait, on a, au voisinage de $t=0$, $f (t) = f (0) + t f' (0) + t \varepsilon (t)$ avec $\lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0$.) Ainsi, au voisinage de 0, $e^t$ s'écrit comme la somme du polynôme $1+t$ de degré 1 et du terme complémentaire $t \varepsilon (t)$ où $\lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0$. \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/dvlpt-lim/} $$ \epsillustrate {cour_001a.ps} $$ {\bf Remarques~:} \item{$\bullet$} Pour $t$ voisin de 0, le polynôme $1+t$ fournit une valeur approchée de $e^t$. \item{$\bullet$} le polynôme $1+t$ donne une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 0. \item{$\bullet$} Cette écriture permet aussi de déterminer $\lim_{t \to 0} {e^t - 1 \over t}$, puisque l'on a, pour tout $t \neq 0$, $$ {e^t - 1 \over t} = 1 + \varepsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0. $$ Le résultat ci-dessus se généralise, et on montre (cf par exemple le livre {\sl Analyse, Algèbre linéaire, Nombres complexes} de Bernard Verlant aux éditions Foucher, 1997, pages 147--149) que l'on a, pour tout réel $t \in [-1, 1]$ et pour tout entier positif $n \in \nset$~: $$\dresultat{ e^t = \sum _{i = 0}^{n} {t^i \over i!} + t^n \varepsilon (t) = 1 + {t \over 1!} + {t^2 \over 2!} + \cdots + {t^n \over n!} + t^n \varepsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0. }$$ Cette écriture s'appelle le {\sl développement limité d'ordre $n$ de la fonction exponentielle au voisinage de $0$}. Les développements limités successifs en $x = 0$ pour la fonction exponentielle nous donnent ainsi des polynômes de degrés de plus en plus élevés approximant la fonction exponentielle au voisinage de $0$~: $$ \vcenter {\hsize .3 \hsize \epsillustrate {cour_001b.ps}} \qquad \vcenter {\hsize .2 \hsize $ \eqalign { P_1 (x) &= 1 + x \cr P_2 (x) &= 1 + x + {x^2 \over 2} \cr P_3 (x) &= 1 + x + {x^2 \over 2} + {x^3 \over 6} \cr }$} $$