cour_003.tex

\paragraphe{Développements limités des fonctions usuelles}
 
On admettra que l'on a les développements limités suivants, au
voisinage de $0$~:
$$\displaylines{
\dresultat{
   e^t 
      = \sum _{i = 0}^{n} {t^i \over i!} + t^n \varepsilon (t)
}
   \qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {
   e^t 
      = 1 + {t \over 1!} + {t^2 \over 2!} + \cdots + {t^n \over n!} 
      + t^n \varepsilon (t) \quad 
      \hbox {avec $\displaystyle {\lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0}$}
}\cr
\dresultat{
   {1\over 1+t} 
      = \sum _{i = 0}^{n} (-1)^i \times {t^i \over i} + t^n \varepsilon (t) 
}
   \qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {
   {1\over 1+t} 
      = 1 - t + t^2 + \cdots + (-1)^n t^n
      + t^n \varepsilon (t) \quad 
      \hbox {avec $\displaystyle {\lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0}$}
}\cr
\dresultat{
   \ln (1+t) 
      = \sum _{i = 0}^{n} (-1)^{i-1} \times {t^i \over i} + t^n \varepsilon (t) 
}
   \qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {
   \ln (1+t) 
      = t - {t^2 \over2} + {t^3 \over3} + \cdots + (-1)^{n-1}
      {t^n \over n} + t^n \varepsilon (t) \quad 
      \hbox {avec $\displaystyle {\lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0}$}
}\cr
\dresultat{
   \sin t 
      = \sum _{p = 0}^{n/2} (-1)^{p} \times {t^{2p+1} \over (2p+1)!} + t^{2p+1} \varepsilon (t) 
}
   \qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {
   \sin t 
   = t - {t^3 \over 3!} + {t^5 \over 5!} + \cdots + (-1)^p
   {t^{2p+1} \over (2p+1)!} 
   + t^{2p+1} \varepsilon (t) \quad 
      \hbox {avec $\displaystyle {\lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0}$}
}\cr
\dresultat{   
   \cos t 
      = \sum _{p = 0}^{n/2} (-1)^{p} \times {t^{2p} \over (2p)!} + t^{2p} \varepsilon (t) 
}
   \qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {
   \cos t 
   = 1 - {t^2 \over 2!} + {t^4 \over 4!} + \cdots + (-1)^p
   {t^{2p} \over (2p)!} + \cdots 
   + t^{2p} \varepsilon (t) \quad 
      \hbox {avec $\displaystyle {\lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0}$}
}\cr
\dresultat{
   (1+t)^\alpha 
   = 1 + {\alpha \over 1!} t + {\alpha (\alpha -1) \over
   2!} t^2 + \cdots + {\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha - n + 1) \over n!} t^n
   + t^n \varepsilon (t) \quad 
   \hbox {avec $\displaystyle {\lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0}$}
}\cr
}$$
 
On admettra de plus que l'on peut additionner, multiplier, ou composer
les développements limités (voir les exercices).