\exo{Développement limité d'une composée de fonctions} \def \dl#1{$\oldstyle (#1)$} Soit $f$ la fonction définie sur $\rset$ par $f (x) = e^{\sin x}$. \itemnum \'Ecrire le développement limité d'ordre 3 en 0 de la fonction $\sin t$. On le note \dl1. \itemnum \'Ecrire le développement limité d'ordre 3 en 0 de la fonction $e^x$. On le note \dl2. \itemnum On admet que la fonction $f$ a un développement limité d'ordre 3 en 0 dont la partie régulière est obtenue de la façon suivante~: dans la partie régulière du \dl2, on remplace chaque $x$ par la partie régulière du développement \dl1 et on ne garde que les termes en $t$ de degré inférieur ou égal à 3. \item{} Démontrer que le développement limité d'ordre 3 en 0 de la fonction $f$ est $$ e^{\sin t} = 1 + t + {t^2 \over2} + t^3 \varepsilon (t) \qquad {\rm où} \qquad \lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0. $$ \finexo