\exo{Développement limité et étude locale de fonction} Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\rset$ par $$ f (x) = e^{2x} (1-x) + 1. $$ On désigne par $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$ (unité graphique 2~cm). La courbe $C_f$ est donnée ci-dessous~: % \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/dvlpt-lim/} \epsfxsize = 80mm $$ \superboxepsillustrate{etud_001.ps} $$ \itemitemalphnum Démontrer que le développement limité d'ordre 3 de $f$ au voisinage de 0 est~: $$ f (x) = 2 + x - {2\over3} x^3 + x^3 \varepsilon (x) \qquad {\rm avec} \qquad \lim_{t \to 0} \varepsilon (x) = 0. $$ \itemitemalph En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0. \itemitemalph \'Etudier la position de $T$ par rapport à $C_f$ au voisinage de ce point. \itemitemalphnum Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la valeur exacte de l'intégrale $$ I = \int_0^{1/2} e^{2x} (1-x) \, dx. $$ \itemitemalph Déduire de la question précédente la valeur exacte de l'intégrale $$ J = \int_0^{1/2} f (x) \, dx. $$ \itemitemalph Calculer la valeur exacte de l'intégrale $$ K = \int_0^{1/2} \left( 2 + x - {2\over3} x^3\right)\, dx. $$ \itemitemalph Vérifier que $0 < K - J < 6.10^{-3}$. \finexo