\exo{Recherche de développement limité -- emploi pour l'étude locale d'une fonction} \let \partie \centerpartie Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$ où les unité sont 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. Soit $f$ la fonction définie sur $-1, +\infty[$ par $$ f (x) = \left( {x^2 \over 4} - 1 \right) e^{2x} $$ et $\cal C$ sa coujrbe représentative dans le repère $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$. \itemnum \'Etablir le tableau de variation de $f$. \itemitemalphnum Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre 2 au voisinage de 0. \itemitemalph En déduire une équation de la tangente $T$ à $\cal C$ au point $A$ d'abscisse 0~; puis étudier la position de $\cal C$ par rapport à $T$ au voisinage du point $A$. \itemnum Représenter la courbe $\cal C$ et la tangente $T$ dans le repère $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$. %\partie{B} On se propose de calculer la valeur exacte, en $\cm^2$, de l'aire $\cal A$ de la partie du plan limité par $\cal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=2$. \itemnum Calculer l'intégrale $$ \int_0^2 f (x) \, dx. $$ On pourra au préalable déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $F$ définie sur $[-1, +\infty [$ par $$ F (x) = \big( ax^2 + bx + c \big) e^{2x} $$ soit une primitive de la fonction $f$. \itemnum Donner la valeur exacte de $\cal A$. \itemnum Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $\cal A$. \finexo