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Source de cour_001.tex

Fichier TeX
\paragraphe {Résolution de l'équation sans second membre} 

Ce paragraphe donne la méthode générale pour résoudre l'équation sans
second membre $(E_0)$ dans le cas d'une équation différentielle
linéaire d'ordre~1 à coefficients non constant.

On a vu en Terminale le théorème suivant~:

\assert Théorème~: .

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle
$y' = \alpha y$, où $\alpha$ est un nombre réel fixé, est
l'ensemble des fonctions $y$ définies sur $\rset$ par 
$$
   y (x) = k e^{\alpha x}
$$$k$ désigne un réel quelconque.

\endassert

En fait ce théorème se généralise, et on a le

\assert Théorème~: résolution de l'équation homogène.

Soit $a$ une fonction donnée, continue sur un intervalle
$I$ de $\rset$. Alors les solutions de l'équation différentielle
$$
   y' = a y
$$
sont toutes les fonctions définies sur $I$ par 
$$
   y (x) = k e^{A(x)}
$$$k$ désigne une constante réelle quelconque, et où $A$ est une
primitive quelconque de la fonction~$a$.

\endassert