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Source de cour_003.tex

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\paragraphe{Définitions -- Notations}

Dans tout ce paragraphe, $a$, $b$ et $c$ désignent trois fonctions connues
définies sur un intervalle $I$ de $\rset$, et $y$ désigne la fonction
inconnue, définie et dérivable sur l'intervalle $I$. On suppose de plus
que la fonction $a$ ne s'annulle pas sur l'intervalle $I$
(c.à.d. $a(x) \neq 0$ pour tout $x\in I$).

$\bullet$ Toute équation du type
$$
   a(x) y'(x) + b(x) y(x) = c (x).
$$
est appelée {\sl équation différentielle linéaire du premier
ordre}. Pour alléger l'écriture, on note généralement
$$
   a (x) y' + b(x) y = c.
\leqno 
   (E)
$$

$\bullet$ Une {\sl solution particulière} de cette équation est une
fonction $f$, dérivable sur l'intervalle $I$, vérifiant 
$$
   a(x)f'(x) + b(x)f(x) = c(x)
$$
pour tout $x$ de l'intervalle $I$. La fonction $f$ est
également appelée {\sl intégrale de l'équation différentielle}.

$\bullet$ {\sl Résoudre\/} l'équation différentielle $(E)$, c'est
dé\-ter\-mi\-ner l'ensemble des fonctions solutions. On dit encore {\sl\-ter\-mi\-ner la solution générale\/} de l'équation $(E)$.

$\bullet$ La représentation graphique d'une solution de cette équation
différentielle est appelée {\sl courbe intégrale}.

$\bullet$ L'équation différentielle
$$
   a(x) y' + b(x) y = 0
\leqno 
   (E_0)
$$
est appelée {\sl équation \og sans second membre\fg \ associée à l'équation
$(E)$}, ou encore {\sl équation homogène associée à l'équation $(E)$}.